Dm Geometrie Dans L'espace

[mathiew]

bonjour j'ai un dm a faire pour vendredi que j'ai presque fini mais il me manque

quelques réponse que je n'arrive pas a trouver si vous pouviez me corriger

et m'aider a trouver ce qu'il me manque merci d'avance

Exercice 1:

L'espace muni d'un repere orthonormal(A;AB;AD;AE) on considere le

cube ABCDEFGH on designe I,J et K les milieux respectifs des segments [bC],[bF] et [HF]

tracer le cube

1)determiner les coordonées des points I,J et K

2)démontrer que le vecteur n(2;1;1) est orthogonal a IK et IJ en deduire qu'une equation du

plan IJK est 4x+2y+2z-5=0

3)a) determiner un systeme d'équations parametrique de la droite (CD)

b) en deduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le

point de coordonnées (3/4;1;0) on placera le point R sur la figure

4)Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK) . (expliquer la construction de facon succincte)

5)a)montrer que la distance de G au plan (IJK) est rac6/4

b)Soit S la sphere de centre G passant pas F , justifier que la sphere S et le plan (IJK) sont

sécants . determiner le rayon de leur intersection

Exercice 2 :

L'espace muni d'un repere orthonormal (O;I;J,K)

soient les points A(1;-1;4)B(7;-1;-2) et C(1;5;-2)

1)a)Calculer les coordonnées des vecteurs AB ; AC et BC

b) montrer que le triangle ABC est equilateral

c) montrer que le vecteur n(1;1;1) est un vecteur normal au plan (ABC)

d) en deduire que x+y+z-4=0 est une equation cartesienne du plan (ABC)

2) soit D la droite de representation parametrique : x=-2t

y=-2t-2 et z=-2t-3

a) montrer que la droite D est perpendiculaire au plan (ABC)

b)Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite D et du plan (ABC) sont(3;1;0)

c)montrer que g est l'isobarycentre des points A,B et C

3)soit S la sphere de centre g passant par A

a)donner une equation cartesienne de la sphere S

b)determiner les coordonnées des points d'intersection E et F de la droite D et de la sphere S

voila j'espere que vous pourrai m'aider merci

[mathiew]

Bonjour j'ai un dm a faire pour vendredi que j'ai presque fini mais il me manque

quelques réponse que je n'arrive pas a trouver si vous pouviez me corriger

et m'aider a trouver ce qu'il me manque merci d'avance .

Exercice 1:

L'espace muni d'un repere orthonormal(A;AB;AD;AE) on considere le

cube ABCDEFGH on designe I,J et K les milieux respectifs des segments [bC],[bF] et [HF]

tracer le cube

1)determiner les coordonées des points I,J et K

I(1;1/2;0) J(1;0;1/2) K(1/2;1/2;1)

2)démontrer que le vecteur n(2;1;1) est orthogonal a IK et IJ en deduire qu'une equation du

plan IJK est 4x+2y+2z-5=0

vecteur IK(-1/2 ; 0 ; 1) Vecteur IJ(0;-1/2;1/2) et Vecteur n(2;1;1)

-> vecteur n . vecteur IK = 2*(-1/2)+1*0+1*1 = 0 Donc vecteur n et vecteur IK sont orthogonaux

->vecteur n . vecteur IJ= 2*0+ 1*-1/2 + 1/2 =0 donc vecteur N et vecteur IJ sont orthogonaux Conclusion vecteur n et un vecteur normale du plan donc P:2x+y+z+d=0

-> on cherche d avec le point I appartenant au plan P(IJK): 2+1/2+d=0 donc d=-5/2 donc P:2x+y+z-5/2=0 d'où l'on obtient par un multiplicateur *2 p: 4x+2y+2z-5=0

3)a) determiner un systeme d'équations parametrique de la droite (CD)

vecteur CD (-1;0;0) où vecteur CD est un vecteur directeur de la droite on obtient comme représentation paramétrique (x=1-t;y=1;z=0)

b) en deduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le

point de coordonnées (3/4;1;0) on placera le point R sur la figure

On étudie l'intersection du plan avec la droite (CD) [ on appelle la représentation paramétrique de la droite (S)]

(S) et p: 4x+2y+2z-5=0

> (S) et p: 4(1-t) +2*1 -5 =0

> (S) et p: -4t+1=0

> t= 1/4: x=1-1/4; y=1; z=0 et p: 4x+2y+2z-5=0

> t=1/4; x=3/4;y=1;z=0 et p: 4x+2y+2z-5=0 Donc le point d'intersection entre la droite et le plan et le point R(3/4;1;0)

4)Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK) . (expliquer la construction de facon succincte)

5)a)montrer que la distance de G au plan (IJK) est rac6/4

G(1;1;1) et P:4x+2y+2z-5=0

D(G,(IJK))= (|4+2+2-5|)/(racine(4²+2²+2²)) = 3/racin(24) = (racine(6))/4

b)Soit S la sphere de centre G passant pas F , justifier que la sphere S et le plan (IJK) sont

sécants . determiner le rayon de leur intersection

Exercice 2 :

L'espace muni d'un repere orthonormal (O;I;J,K)

soient les points A(1;-1;4)B(7;-1;-2) et C(1;5;-2)

1)a)Calculer les coordonnées des vecteurs AB ; AC et BC

vacteur AB(6;0;6) vecteur AC(0;6;-6) vecteur BC(-6;6;0)

b) montrer que le triangle ABC est equilateral

AB=6racine2 AC=6racine2 et BC=6racine2 donc AB=AC=BC donc le triangle ABC et équilatérale

c) montrer que le vecteur n(1;1;1) est un vecteur normal au plan (ABC)

A,B,C trois points du pkan si vecteur n orthogonal au vecteur AB et au vecteur AC alors vecteur n est orthogonal au plan donc vecteur n est un vecteur normale du plan

> vecteur n. vecteur AB= 6+0-6 =0 donc vecteur n orthogonal vecteur AB

> vecteur n. vecteur AC= 0+6-6=0 donc vecteur n orthogonal vecteur AC Conclusion le vecteur n(1;1;1) est un vecteur normale u plan (ABC)

d) en deduire que x+y+z-4=0 est une equation cartesienne du plan (ABC)

vecteur n(1;1;1) est un vecteur normale du plan donc x+y+z+d=0 est une équation carthésienne du plan. On trouve d avec un point du plan(on prend A) 4+d=0 donc d=-4

Donc P: x+y+z-4=0

2) soit D la droite de representation parametrique : x=-2t

y=-2t-2 et z=-2t-3

a) montrer que la droite D est perpendiculaire au plan (ABC)

vecteur directeur de la droite u(-2;-2;-2) et vecteur normale du plan n(1;1;1)

vecteurn=2*vecteur u donc vecteur n et vecteur u sont colinéaire donc la droite et le plan sont perpendiculaire

b)Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite D et du plan (ABC) sont(3;1;0)

On étudie l'intersection du plan(ABC) avec la droite D

> (D) et P: -2t -2t-2-2t-3-4=0

> (D) et t=-3/2

> t=-3/2 ; x=3; y=1 z=0 et P: x+y+z-4=0

Donc l'intersection entre le droite D et le plan et le point G(3;0;1) cqfd

c)montrer que g est l'isobarycentre des points A,B et C

on a A(1;-1;4) B(7;-1;-2) C(1,5,-2). LEs coordonnées de l'isobarycentre de (A;1) (B;1) (C;1) sont[ ((1+7+1)/3); (-1-1+5)/3);(4-2-2)/3)] = (3;1;0) Donc G est l'isobarycentre de (A;1)(B;1)(C;1)

3)soit S la sphere de centre g passant par A

a)donner une equation cartesienne de la sphere S

b)determiner les coordonnées des points d'intersection E et F de la droite D et de la sphere S

voila j'espere que vous pourrai m'aider merci