Polynome Et Recurrence A La Fois

[Hoss]

Salut a vous,

Alors voila j'ai un exo de DM qui melange a la fois polynomes et reccurence et g du mal a le débuter !!

R = racine (car po de touche sur le clavier)

x = multiplication

Soit Pn(X) = (1/2^n) [(X+R(X²-1)^n + (X-R(X²-1)^n] ( 1/2 le n est en exposant seulement sur le 2)

1) Donner l'ensemble de définition de Pn

Alors la je bute, j'ai taper la fonction (sans mettre le 1/2 en facteur) et fais un tableau de valeur et g trouve que pour -1/2 et 1/2 ca fait 0 .

g essayer a la main (celui la g pense que c bon) :

( X + R(X²-1) ) = 0 puis g resout

X + X -R1 =0

2X -1 =0

X = 1/2

mais pour celui ci je suis pas sur car j'ai élevé au carré :

( X-R(X²-1) ) = 0 puis g resout en élevant au carré :

( X-R(X²-1) ) ²

X² - 2 x X x R(X²-1) + (R(X²-1) )² (produit remarquable g pense)

X² - 2X (X-1) + (X²+1)

2X² -2X² + 2X + 1

2X + 1 = 0

X = -1/2

donc mon ensemble de déf serait Df = [-1/2 ; 1/2 ] ?

2) Déterminer Pn(X) pour n élément de {1,2,3,4}

donc la je remplace n par 1,2,3,4 et je trouve les résultats suivants

pour n = 1 Pn(X)= 1/2x(2X)

pour n = 2 Pn(X)= 1/4x[(4X²+2)]

pour n = 3 Pn(X)= 1/8x[(8X^3-8X²+X+1)]

pour n = 4 g po encore fait ^^

les résultats me semble trés bizarre

3) Vérifier sur les résultats du 2) que Pn(X)-XPn-1(X) +1/4Pn-2(X) = 0 n élément de {3,4} (n est en indice ici)

alors la g reste bloqué g voit pas du tout coment essayer de le montrer

4) g pense pouvoir le faire

5) En déduire a l'aide d'un raisonnement par réccurence que Pn est un plynome de degré n

voila le 5 g conné le principe mé g du mal aussi il faut d'abord montrer que ca marche au 1er rang puis faire l'hérédité mais c'est sans succés tout ce que g gratais ca ne donne rien !!

Bah voila cet exo de DM est pour le vendredi 12/03 donc dans 1jour donc si quelqu'un avait une aide sa serait cool vais essayer d'avancer quand meme de mon coté !!

[philippe]

bonsoir,

1.

je ne comprends pas ce que tu fais pour l'ensemble de définition...

Pn(X) est défini si tu peux calculer R(X²-1)

donc si X²-1>=0

à toi te résoudre cette inéquation

2.

P1(X)=X

P2(X)=(2X²-1)/2

P3(X)=X(4X²-3)/4

P4(X)=(8X^4-8X²+1)/8

refait tes calculs à partir de n=2

3.

tu dois vérifier avec ce qui précède que

Pn(X)-XPn-1(X) +1/4Pn-2(X) = 0 pour n=3 et n=4

donc que

P3(X)-XP2(X)+1/4P1(X)=0

et

P4(X)-XP3(X)+1/4P2(X)=0

4.

les cas n=3 et n=4 sont traités avec 3.

pose que:

Pn(X)-XPn-1(X) +1/4Pn-2(X) = 0

et

Pn+1(X)-XPn(X) +1/4Pn-1(X) = 0

démontre que

Pn+2(X)-XPn+1(X) +1/4Pn(X) = 0

(utilise les 2 relations précédentes!)

bonne soirée

[Hoss]

Salut

Merci a toi c'est beaucoup plus claire mainteant je sais ce que je dois démontrer me reste plus qu'a le faire je te suis trés reconnaissant ^^

Au passage tu devrais rédiger les énoncés car je comprenais pas ce que je devais faire mais avec ton aide c cool

Merci encore et @+ Hoss

[philippe]

heu "rédiger les énoncés"????

tu plaisantes j'espère...

[Hoss]

Lut

J'ai un petit probléme c'est juste pour P3(X) a la question 2°) car je ne trouve pas le meme resultat tu pourrais me mettre le debut du calcul pour que je fasse de meme sinon pour P2(X) g réussi

En fait la ou je bloque c pour le mettre au cube . Est-ce que je peut faire :

[( (X²+X²-1)(X+X-1) + (X²+X²-1)(X+X-1) )

le terme (X²+X²-1) étant le resultat que je trouve quand je met au carré !!

Voila sinon bah ca roule pour le reste

@+ Hoss