Exercice De Math

[Tite_Ma]

Bonjours, j'ai un exercice que j'ai assez du mal à résoudre donc je compte sur vous pour m'aider

En économie, on constate souvent que le nombre n d'objets vendus dinimue quand le prix de vente p de cet objet augmente. Une des lois formulées est : n = a - ep,

où a et e sont des constantes réelles ( e > 0)

Un magasin met en vente des bouteilles de champagne au prix de 18 euros l'unité, achetée 12 euros au grossiste; au bout d'une semaine, 200 bouteilles sont vendues. Le directeur décide alors de baisser le prix de la bouteille de 0,50 euros; il constate qu'à la fin de la deuxième semaine, la vente hebdomadaire a augmeuté de 50 bouteilles.

1. En supposant que la loi n = a - ep s'applique dans cet exemple, montrer que a = 2000 et e = 100 (les prix etant exprimées en euros) ?

2. Exprimer alors le bénéfice b en fonction de p, puis calculer le prix de vente d'une bouteille de champagne assurant un bénéfice maximal (on nélige les frais de tous ordres).

Merci d'avance

[Tite_Ma]

J'ai trouver la premiere question, il faut faire un systeme a deux equations et je trouve bien e = 100 et a = 2000

mais j'aurai encore besoin d'un coup de main pour la deuxieme question

[Dacendi]

N=2000-100p (n=nombre de bouteilles; p= prix de vente)

Il faut que tu reformule la question si tu ne comprends pas, ou essayer de définir les mots un à un:

Bénéfice: somme d'argent qui entre. Ici tu vends des bouteilles, avec un certain prix. Le bénéfice ça sera Prix des bouteilles*nombre de bouteilles.

On va appeler "b" le bénéfice

b=n*p

Il n'empêche que ta formule économique citée plus haut te dis comment faire un bénéfice maximal.

donc avec n=2000-100p, tu change de manière à arriver à n*p= quelque chose pour te servie de b=n*p

n+100p=2000

// b(n+100p)=2000b

// (n*p)(n+100p)=2000b

// n²+100np+pn+100p²=2000b

// n²+100p²+101b=2000b

// n² + 100 p² = 1899 b

donc b = (n²+100p²)/1899

Il n'est pas pratique de travailler avec deux variables, surtout quand on sait par quelle relation elle sont liées:

b=n*p, donc n=b/p

D'où: b= ((b/p)² + 100 p²)/1899)

On simplifie: b= b²/1899p² + 100/1899*p²

// b*(p²/b²)= 1899 + 100/1899*p^4

// p²/b= 1899 + 100/1899*p^4

// 1/b = 1/p²*(1899 + 100/1899*p^4)

// b= p²/(1899 + 100/1899*p^4) //

b=1/(1899/p² + 100/1899p²)

(un chemin plus rapide et simple existe c'est sûr)

(je te laisse trouver la suite, je pense qu'une dérivée t'aidera à trouver pour quel p, b est maximal. N'oublies pas de penser aux domaines de définitions que je n'ai pas pris la peine de faire, enfin tu les retrouvera facilement je pense (par exemple p est différent de 0 car on ne divise pas par 0 )

Je n'ai pas le temps de finir dans l'immédiat, bon courage !