Les Flocons De Von Koch

[mathiew]

bonjour j'ai un dm a rendre pour vendredi et j'ai vraiment du mal a comprendre ce sujet

j'ai besoin de votre aide sil vous plait

la flocon f1 est un triangle equilateral de coté 1

pour passer d'un flocon fn au suivant, on partage chaque segment du pourtour de fn en

3 segments egaux et on substitue au segment central 2 segments egaux formants avec le

segment supprimé un triangle equilateral tourné vers l'exterieur

les 4 premiers flocons sont construits ci contre

on note pour tout n superieur ou egal a 1

Cn le nombre de coté de fn

Ln la longueur d'un coté de fn

Pn le perimetre de fn

An l'aire du flocon fn

A. etude de Cn et Ln :

1) determiner C1,C2,C3 et L1,L2,L3

2)justifier que la suite (Cn) est definie par C1=3 et Cn+1=4Cn

en deduire la nature de la suite (Cn) et exprimer Cn en fonction de n

3)donner une relation liant Ln+1 et Ln

en deduire la nature de la suite (Ln) et exprimer Ln en fonction de n

B. etude de Pn:

1)justifier que Pn=9/4 *(4/3)ⁿ

2)en deduire le sens de variation et la limite de la suite (Pn)

C. etude de An :

1)question preliminaire :

on considere que la suite (Sn) definie pour tout n>=1 par Sn=1+4/9+(4/9)²+....+(4/9^)n-1=somme de (4/9)^k pour ka allant de 0 a n-1

determiner Sn en fonction de n et montrer que lim(Sn)=9/5 quand n tend vers +00

2)calculer A1

3)on construit fn+1 en "ajoutan" sur chaque coté de fn un triangle equilateral de coté Ln+1

on admet que An+1=An+((3rac3)/16)*(4/9)ⁿ

demontrer par recurrence que pour tout n>=1 , An=(rac3/16)+((3rac3)/16)*Sn

4)en deduire la limite de la suite (An) comparer ce resultat a la limite du perimetre Pn

qu'en pensez vous ?

5) on admet que An=((2rac3)/5)-((27rac3)/80)*(4/9)ⁿ

determiner le plus petit entier naturel n tel que ((2rac3)/5)-An<= 10^-2

remarque :

les flocon de von koch sont un exemple d'objet mathematiques appelés fractales , formes étranges pourtan presentes partout autour de vous