650Mo Posté(e) le 1 décembre 2003 Signaler Posté(e) le 1 décembre 2003 voila la colle qu'on vient de me poser , je compte sur vous pour me donner le detail de calcul, merci d'avance. equation a resoudre y² = 61x²+1 avec x different de 0 bon courage 650Mo
philippe Posté(e) le 1 décembre 2003 Signaler Posté(e) le 1 décembre 2003 bonjour, voici une 2ème colle: où dois tu résoudre cette équation (C²,R²,N²...)?
650Mo Posté(e) le 1 décembre 2003 Auteur Signaler Posté(e) le 1 décembre 2003 est ce que cette réponse signifie que la colle qu'on m'a poser n'est pas résolvable ou qu'il manque une donnée pour la résoudre, je comptais sincèrement sur une réponse claire et non sur une autre colle. merci 650Mo
philippe Posté(e) le 1 décembre 2003 Signaler Posté(e) le 1 décembre 2003 Résolution dans Z². C'est une équation diophantienne de degré 2 dite équation de Pell. Elle est du type : x²-dy²=L (d étant dans N* et n'est pas un carré) Un résultat: Si L=1 alors l'équation admet une infinité de solutions. Il y a plusieurs approches de résolution des équations de Pell. Allons-y dans le cas x²-dy²=1. La résolution peut se faire au moyen de développement en fraction continue de :sqrt:d Kesako? Exemple: (61)=7.81024967591... 7.81024967591 =7+0.81024967591 =7+1/1.23418747299 =7+1/(1+0.23418747299) =7+1/(1+1/4.2700832253) =7+1/(1+1/(4+0.2700832253)) =... =7+1/(1+1/(4+1/(3+1/(1+1/(2+1/...))))) on développe donc le nombre en une suite d'opérations fractionnaires. on peut noter cette suite: 7+1/1+1/4+1/3+1/1+1/2+... ou [7,1,4,3,1,2,...] Regardons les fractions au fur et à mesure. chaque fraction est appelée réduite d'ordre 1,2,3... 7 (partie entière) 7+1/1=8/1 (réduite d'ordre 1) 7+1/(1+1/4)=39/5=7.8 (réduite d'ordre 2) 7+1/(1+1/(4+1/3))=125/16=7.8125 (réduite d'ordre 3) 7+1/(1+1/(4+1/(3+1/1)))=164/21=7.80952380952 (réduite d'ordre 4) 7+1/(1+1/(4+1/(3+1/(1+1/2))))=453/58=7.81034482759 (réduite d'ordre 5) ... les fractions sont du type : P_n/Q_n Voici un autre résultat: Les solutions (x,y) de l'équation sont à chercher parmi les (P_n,Q_n) où P_n/Q_n est une réduite du développement de (d) en fraction continue. Retour sur x²-61y²=1. La première solution non triviale est (1766319049, 226153980). Solution dite fondamentale. Une autre approche d'attaque de résolution peut se faire par le biais des corps de nombres quadratiques réels. Kesako bis? Les nombres de la forme z=x+y :sqrt:d avec x,y dans Q forment un corps noté Q( :sqrt:d). z est appelé entier quadratique. On définit le conjugué de z=z=x+y :sqrt:d par z*=z=x-y :sqrt:d On définit la norme de z par N(z)=zz*=x²-dy². On dit que e est un élément unité ssi |N(e)|=1 (dans le cadre de corps quadratiques. les unités sont caractérisées par une norme de +/-1). L'ensemble des unités forme une structure particulière appelée groupe. Dans notre exemple, on cherche donc les unités de Q((61)). En effet ce sont les nombre x+y (61) tels que x²-61y²=1. On peut montrer que, dans le cas qui nous intéresse, il existe une unité (dite fondamentale) w. (ce qui assure l'existence de la solution fondamentale précédente). Et l'ensemble des éléments unité est engendré par cette unité fondamentale. Autrement dit : si e est un élément unité alors il existe n dans Z tel que : e=±w^n. (on dit aussi que w engendre le groupe des unités). Tout ça pourquoi? Pour dire que dès que l'on a trouvé cette unité fondamentale, on a toutes les autres. Voici le dernier résultat: Soit (x_1,y_1) la solution fondamentale de l'équation de Pell. (x_0,y_0 est triviale). ALors les solutions positives vérifient: x_n+y_n.(d)=[x_1+y_1.(d)]^n (car e=w^n) et x_(n+2)=2x_1.x_(n+1)-x_n y_(n+2)=2x_1.y_(n+1)-y_n Dans ton cas: x²-61y²=1 x_1=1766319049 y_1=226153980 et x_(n+2)=3532638098.x_(n+1)-x_n y_(n+2)=3532638098.y_(n+1)-y_n A toi de calculer d'autres solutions si tu veux. Ai-je passé le test...
E-Bahut JNF Posté(e) le 1 décembre 2003 E-Bahut Signaler Posté(e) le 1 décembre 2003 euh...moi je dis bravo.... JN
trollet Posté(e) le 2 décembre 2003 Signaler Posté(e) le 2 décembre 2003 Oui, là, ça calme... Bravo philippe !
philippe Posté(e) le 2 décembre 2003 Signaler Posté(e) le 2 décembre 2003 Vous êtes bien les seuls car la personne concernée (peut être testeuse ou blagueuse?), ELLE, n'a pas aimé puisque j'ai reçu ce petit message depuis: merci de repondre correctement si vous connaissez la réponse
650Mo Posté(e) le 3 décembre 2003 Auteur Signaler Posté(e) le 3 décembre 2003 la personne concerné n'a jamais envoyé ce message et vous remercie du resultat que vous m'avez donné. je vous pensais plus modeste... je ne testais personne et je voulais juste le resultat de cette equation que quelqu'un ma demandé de poster sur internet. je ne sais pas qui vous etes monsieur philippe mais vous excéllez en maths mais en courtoisie certainement pas . merci quand meme pour vos reponses 650Mo.
trollet Posté(e) le 3 décembre 2003 Signaler Posté(e) le 3 décembre 2003 Bonjour, J'interviens à nouveau parce qu'il me semble que c'est plutôt 650 Mo qui est avare en courtoisie !!! La première réponse de philippe n'était pas une question ironique mais une demande pour mieux cerner la question. En effet, il semblerait que selon le domaine dans lequel on doit résoudre cette équation, les méthodes et les solutions sont différentes, ce qui fait de sa question non pas une colle mais un précision essentielle. Si 650 Mo s'est vexé pour cela, c'est bien triste et cela prouve que seule la réponse en paquet cadeau l'interressait... Peut-être devrait-il (ou elle) lire les règles de bases ou le post "respect". A + avec le sourire ! PS : Philippe, je dois reconnaître qu'a l'instar d'une belle expérience de physique, une belle démonstration de maths, c'est beau aussi...
philippe Posté(e) le 3 décembre 2003 Signaler Posté(e) le 3 décembre 2003 Une dernière chose et ensuite le "débat" sera clos pour moi. la personne concerné n'a jamais envoyé ce message
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