Etude D Une Fonction

[sam.d]

slt j ai fait un devoir de maths et ce serait sympa si quelqu un pouvait me le corriger.pour ce qui est faux j attends surtout des explications plus que des reponses

On se propose d etudier la fonction f definie sur ]0,+00[

par f(x)=x+(1/x)+(lnx/x²)

A) soit g la fonction numerique definie sur ]0,+oo[

par g(x)=x^3-x-2lnx+1

montrez que la fonction g est derivable et que pour tout x positif g'(x)=[(x-1)(3x²+3x+2)]/x

j ai dit que g est derivable comme somme de fonctions derivables

et en faisant la derivée je parviens a g'(x)=(3x^3-x-2)/x

etudier les variation de g et determiner le signe de g(x)

j ai trouvé g decroissante sur]0,1[ puis croissante et toujors positive car elle admet un minimum en 1 egal a 0

2) determiner les limites de f en 0 et +oo

j ai trouvé +oo pour les deux(ca me parait faux)

3)montrez que pour tt x positif f'(x)=g(x)/x^3

j ai pas reussi

puis donner le tableau de variation de f

j ai trouvé f tjs croissante

B soit h la fonction definie sur ]0,+oo[ par h(x)=x+lnx

a) etudiez le sens de variation de h puis montrez que h(x)=0 admet une solution unique sur l intervalle[0,4 ; 0,7]

j ai trouvé h tjs croissante mais pour l equation je vois pas comment faire sans la calculatrice!

b)montrez que l on a e^-alpha =alpha

(alpha etant la solution de l equation)

je n ai pas reussi

2)verifier que la droite y=x est asymptote a la courbe de f en +oo

je parviens a le prouver graphiquement ce qui a mon avis ne suffit pas

b)utiliser le resultat de la question 1a pour determiner les positions de la courbe de f et de y=x

merci beaucoup

[philippe]

bonsoir,

A.

1.

d'accord pour la dérivée ...que tu peux factoriser par (x-1) pour aboutir au résultat.

et pour les variations et le signe mais le mini g(1) ne vaut pas 0.

limites bonnes.

(pour la limite en +oo, factorise par x^3)

3.

f se dérive terme à terme

tu as peut être rencontré un pb pour dériver x->ln(x)/x²

vas doucement en appliquant la formule de dérivation d'un quotient u/v et tu arriveras à (1-2ln(x))/x^3

ensuite même dénominateur pour finir.

un coup de pouce : le signe de f' est celui de g puisque on travaille avec x>0 donc x^3 reste positif dans notre affaire.

f est bien tjs croissante, oui.

B.

calcule h(0.4) et h(0.7).

Tu dois avoir (maintenant) un théorème qui te dit qu'une fonction dérivable, monotone sur [a,b] telle que f(a) et f(b ) soient de signes différents admet une unique solution alpha dans ]a,b[ tq f(alpha)=0.

puisque alpha est solution alors h(alpha)=0=alpha+ln(alpha)

un petit effort...

étudie la limite en +oo de f(x)-x (montre qu'elle vaut 0)

f(x)-x=h(x)/x²

regarde le signe de cette différence (aide toi du signe de h)

voila! bonne soirée

[sam.d]

merci beaucoup

je suis parvenu a faire l ensemle de mon devoir grace a ton aide

merci