Dm Exponentielle Et Complexe

[mathiew]

Bonsoir tous le monde,

Voilà je vient de terminer tout juste fraîchement mon DM de math il me manque quelques question et certaines que je ne suis pas sur donc j'aimerais que vous le corrigiez et m'aidiez a le finir en m'expliquant comment rédiger correctement car c'est à rendre pour demain s'il vous plait .

voici le sujet avec mes réponses :

I / On consdère l'équa. diff (E) xf'(x)-f( x ) = x^2ê^(2x)

on cherche à déterminer l'ensemble des fonctions définies et dérivable sur I=[0;+oo[ slution de cette equation.

1) Montrer que si une fonction f, définie et dérivable sur I, vérifie la condition (E), alors la fonction g définie sur I par g( x )= f( x )/ x vérifie pour tout x> 0 g ' ( x) = e^(2x)

g (x ) = f( x )/x donc g'( x) = (f ' (x) *x - f (x))/x^2 = (x^2e^(2x))/x^2 = e^(2x) car f ' (x) =(x^2e^(2x) +f (x))/x > f( x) = xf ' (x)- x^2e^(2x) soit (E)

2)En déduire l'ensemble des fonctions f définies et dérivables sur I, qui vérifie la condition (E)

g ' (x) = e^(2x) donc g( x) = (e^(2x))/2 + C avec C appartien a R

comme g( x)= f(x)/x on a : f(x)/x= (e^(2x))/2+C donc f(x) = x((e^(2x))/2 + C) avec C app. R

3) Déterminer la fonction f solution de (E) et s'annulant en 1/2

f(1/2)=0

1/2 ((e^(2*1/2))/2 + C ) =0

1/2 ( e/2 + C ) =0

e/2 + C =0

C = - (e/2)

donc f (x)= x [ (e^(2x))/2 - e/2]

II / On considère l'équa. diff (E): y ' =-10 y +6

Pré-requis: les solutions de l'équa. y '= ay avec a un réel quelconque sont y(x)= Ce^(ax) avec C constante réel

1) Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g ( x)= f(x)-3/5 est solution de l'équa. z'= -10z

f solution de y'=-10y+ 6 > y(x)= k e^(-10x) + 3/5 > f(x)= y(x)

g solution de z'=-10z > z(x)=k e^(-10x) =g(x) > g(x) = f(x)-3/5 car (k e^(-10x)+3-5)-3/5 = k e^(-10x) = g(x)

2)Démontrer que (E) admet une solution unique telle que f(0)=0

f(0)=0 et f(x) = k e^(-10x) + 3/5

> k e^(-10*0) +3/5 =0 > k =-3/5 > f(x) = -3/5 (e^(-10x))+ 3/5

3) Aux bornes d'une bonine de résistance 5Ohms et d'induction 1/2 Henry, on branche à l'instant t=0, un générateur de force électromotrice 3Volts(unité de temps à la seconde) l'intensité du courant (en Ampères) est une fonction i dérivable, à t=0, i(0)=0, la fonction i est solution de l'équa. 1/2 i '(t) +5 i(t)=3

a) Déduire des question précédente l'expression de i(t) pour tout t 0

i ' (t) = (-5 i(t) +3)/(1/2) = -10 i(t)+ 6

donc i(t) = k e^(-10t)+ 3/5

et i(0)=0 donc k=-3/5

donc pour tout t 0, k -3/5 donc i(t) -3/5 e^(-10t)+ 3/5

b) Déterminer la limite quand t tend vers +oo de i(t)

quand t tend vers + oo,

lim (e^(-10t)) =-oo car lim e^x= +oo quand x tend vers +oo

lim -3/5=-3/5 donc par produit lim -3/5e^(-10t) = +oo

et lim 3/5 = 3/5 donc par somme lim i(t) =+oo

III/ On considère le plan complexe muni d'un repère orthonomal

A tout point M d'affixe z, on associe M' d'affixe z'

définie par z'=z * z(barre)+(1+i)z + 3(z barre) -2

1) Déterminer les points A', B' et K' respectivement associé au point A(2+i) B(-i) et K millieu de [AB]

A(2+i) A(barre)= 2-i

A'= (2+i)(2-i)+(1+i)(2+i)+3(2-i)-2

A'=10

B(-i) B(barre)=i

B'=(-i)(i)+(1+i)(-i)+3i-2

B'=2i

Kmillieu de [AB] > K = (za+zb)/2 = ((2+i)+(-i))/2 = 1

K(barre) =1

K' = 1*1+(1+i)*1+3*1-2

K'= 3+i

2) M étant un poin quelconque d'affixe z, exprimer x' et y' en fonction de x et y

je ne sais pas là j'ai pas trouver .

3)Déterminer et tracer l'ensemble E des points M d'affixe z tel que z' soit un réel

je ne sais pas non plus

4) Déterminer et tracer l'ensemble F des point M d'affixe z tel que z' soit un imaginaire pur.

de même

Voilà j'espère que vous pourrez me répondre rapidement merci d'avance pour votre aide .