Exercice De Geometrie Sur La Molecule De Methane

[Alight153]

"Le methane est un hydrocarbure dont les molecules sont composées d'1atome de carbone et de 4 atomes d'hydrogene.Ces atomes ne sont pasdisposés n'importe comment: les atomes d'hydrogene sont situes ausommet d'un tetraede regulier et l'atome de carbone est situe au"centre" de ce tetraede a egale distance des quatres sommets."

Le but de ce probleme est de determiner la mesure de l'angle formépar deux liaisons carbone-hydrogéne. Soit ABCD le tetraede regulierd'arete a. Soit I le milieu du segment [AB], J celui de [CD] et soit Gle centre de gravité du triangle BCD.

1.Exprimer les longueurs AJ,BJ et BG en fonction de a.

2.On se place dans le plan (ABJ).Demontrer que les droites (IJ) et (AG)sont sécantes dans ce plan et se coupent en un point Oequidistant de Aet de B.

Que represente la droite (IJ) pour le segment [AB] dans le plan (ABJ)?

De la meme facon, demontrer que OB=OC et OC=OD. Le point OC estdoncsitué a egale distancedes 4 sommetsdu tetraede : il marquel'emplacement de l'atome de carbone dans la molecule de methane.

3,Tracer le triangle ABJ en vraie grandeur (en prenant a=5 cm)et placer les points G et O

Bien entendu la je ne demande qu'a avoir de l'aide pr la constructionquelles mesures prendre et a combien de cm de quels points placer lespoints G et O.

4,Admettons que (AG) soit perpendiculaire a (BJ) dans le plan (ABJ).

Calculer AG en fonction de a.

5. a)Exprimer cos(de l'angle) IAO en fonction de a et de AO dans le triangle IAO rectangle en I.

b)Exprimer cos(de l'angle)BAG en fonction de a dans le triangle BAG rectangle en G.

c)En deduire que l'on a AO= a(racine de 3)/2(racine de2)

6,En deduire une valeur approchée au dixieme de degré de la mesure de l'angle IAO, puis de la mesure de l'angle AOB.