Application D'une Tvi: Trissection De L'angle

[alisondu77]

Bonjour, j'ai un DM en maths mais je n'arrive pas à faire quelque chose, le sujet est le suivant :

1) Redémontrer en justifiant et en rédigeant soigneusement la réponse, que l'équation : x^3-3x+1=0 possède sur R, 3 solutions distinctes α < β < δ

Je l'ai fait et expliqué, j'ai trouvé :

f'(x)= 3x²-3

-1.88 < α< -1.87

0.34 < β < 0.35

1.53 < δ < 1.54 donc la consigne est vérifiée.

2) a) il faut démontrer que cos (3 θ)= 4(cos θ)^3-3cos θ

Pas de soucis pour cela.

b) posant X=2cos θ, montrer que l'équation algébrique X^3-3X+1=0 revient à résoudre l'équation trigonométrique cos (3 θ)= -1/2

Toujours pas de problème pour ceci.

c) Résoudre cette équation trigonométrique et en déduire les valeurs exactes des réels α, β et δ solution de x^3-3x+1=0

C'est ici que les choses se compliquent, j'arrive à démontrer que :

cos (3 θ)= -1/2 ó 3 θ= 2π/3 ou 4π/3 [2 π]

θ=2 π/9 ou θ=4 π/9 [2 π]

· X = 2 cos θ = 2cos (2 π/9) = δ

· X = 2cos θ = 2cos (4 π/9) = β

· Mais pour α je n'y arrive pas

Quelqu'un peut-il m'aider ? Je suis perdue …

Je vous remercie d'avance

Et vous souhaite une bonne soirée.

[elp]

Bonjour, j'ai un DM en maths mais je n'arrive pas à faire quelque chose, le sujet est le suivant :

1) Redémontrer en justifiant et en rédigeant soigneusement la réponse, que l'équation : x^3-3x+1=0 possède sur R, 3 solutions distinctes α < β < δ

Je l'ai fait et expliqué, j'ai trouvé :

f'(x)= 3x²-3

-1.88 < α< -1.87

0.34 < β < 0.35

1.53 < δ < 1.54 donc la consigne est vérifiée.

2) a) il faut démontrer que cos (3 θ)= 4(cos θ)^3-3cos θ

Pas de soucis pour cela.

b) posant X=2cos θ, montrer que l'équation algébrique X^3-3X+1=0 revient à résoudre l'équation trigonométrique cos (3 θ)= -1/2

Toujours pas de problème pour ceci.

c) Résoudre cette équation trigonométrique et en déduire les valeurs exactes des réels α, β et δ solution de x^3-3x+1=0

C'est ici que les choses se compliquent, j'arrive à démontrer que :

cos (3 θ)= -1/2 ó 3 θ= 2π/3 ou 4π/3 [2 π]

C'est bon

θ=2 π/9 ou θ=4 π/9 [2 π]

Attention:

3@ =2pi/3+2kpi fait que @=2pi/9+2kpi/3 donc tu as "oublié" des valeurs de @

3@=4pi/3+2kpi fait que @=4pi/9+2kpi/9 donc ..............

· X = 2 cos θ = 2cos (2 π/9) = δ

· X = 2cos θ = 2cos (4 π/9) = β

· Mais pour α je n'y arrive pas

Tu vas maintenant trouver la solution qui manque.

Quelqu'un peut-il m'aider ? Je suis perdue …

Je vous remercie d'avance

Et vous souhaite une bonne soirée.

[alisondu77]

Je n'ai jamais compris ce que représentait les 2kπ en réalitée.

Pourriez-vous m'expliquer ? (si je ne répond pas c'est que j'ai un empêchement, désolée)

Est ce que cela veut dire que sur le cercle trignomotétrique par exemple si c'est: 2kπ/3; il faut que je fasse "2/3 de tour en plus" ?

En tout cas, merci de m'avoir répondu. Je vous souhaite de bonnes vacances, et une bonne soirée

[elp]

quelques explications un peu" imagées"

k*2pi

k est un entier

tu te places sur le cercle trigo

si k=1, k*2pi=2pi donc tu refais un tour de cercle trigo et tu te retrouves au même endroit

si k=2, tu fais 2 tours et tu te retrouves encore à ton point de départ etc..

si k est négatif, c'est que tu tournes ds le sens inverse du sens trigo.

2kpi/3=k*2pi/3

tu tournes de 2pi/3 si k=1

de 4pi/3 si k=2

de 6pi/3 si k=3 mais 6pi/3=2pi donc là, tu es revenue au départ

[alisondu77]

J'ai compris !!!!

Alors pour trouver α, je peux dire:

cos (3 θ)= -1/2 <-> 3 θ= 2π/3 ou 8π/3 [6 π]

donc θ=8π/9

donc X= 2cos(θ)= 2 cos(8π/9)= α

En tout cas merci beaucoup. Bonne soirée