Dm N°1 Fini ^^

[namoureuse]

bonsoir tous le monde suite a vos réponse à mes questions et a mon cours de math de se matin j'ai pu finir mon DM je le met en ligne pour que vous puissiez le corriger .

Exercice 1:

1) démontrer a l'aide de la définition que la suite un =2n²+3 admet une limite +oo(+infinie). C'est a dire montrer que pour tout A fixé, A>0, on peut trouver un entier naturel N tel que pour tout n>N ......

pour tout A>0 on a : 2n²+3>A = 2n²>A-3 = n²>(A-3)/2 = n>=sqrt[(A-3)/2] Donc pour tou n>N avec N>= sqrt[(A-3)/2], un>A donc limite un= +oo

2)Démontrer à l'aide de la définition que la suite un=1/(n²+3) admet pour limite 0. C'est a dire montrer que pour tout a>0 fixé, on peut trouver un entier naturel N tel que pour tout n>N ......

Soit a>0 on a: -a<1/(n²+3)<a =1/(n²+3)<a = n²+3>1/a =n²>1/a-3 = n>sqrt(1/a -3) Donc pour tout n>N, avec N>=sqrt(1/a -3), la limite de un=0

Exercice 2:

Déterminer la limite de chacune de ces suites, justifier de façon précise avec par exemple les théorèmes sur les limites.

a) un= 2n^7 -1/ 5n^5-4 = [n^7(2-1/n^7)]/[n^5(5-4/n^5] = n/1* (2-1/n^7)/(5-4/n^5)

lim (n/1)=+oo

lim[(2-1/n^7)/(5-4/n^5)]=2/5 car lim(1/n^7) et lim(4/n^5)=0

Donc par produit lim un=+oo

b)un= 2^n/5^n

lim (2/5)^n =0 car c'est une suite géométrique de raison q=2/5 donc comme -1<q<1 la lim un=0

c) un=(2^n+1)/(2^n-1) = [2^n(1+1/2^n)]/[2^n(1-1/2^n)] = (1+1/2^n)/(1-1/2^n)

lim du numérateur =1 et limite du dénominateur =1 donc par quotient lim un=1

d) un= (3^n-1)/(4^n+2) = 3^n/4^n* (1-1/3^n)/(1+1/2^n)

lim (3/4)^n =0 car suite géométrique de raison q=3/4

lim [(1-1/3^n)/(1+1/2^n)]=1

Donc par produit lim un=0

e) un = sqrt(9n²+8) -n = sqrt(9n²*(1+8/9n²)) -n = 3n*sqrt(1+8/9n²) -n = n* [3sqrt(1+8/9n²)-1]

par composée on a: lim 8/9n² =0, lim sqrt(1)=1

donc lim [3sqrt(1)-1] =2 et lim n = +oo

Donc par produit lim un=+oo

Exercice 3 :

1) Soit la suite(un) définie par un= sin(n)/n²

Donner un encadrement de un pour tout n non nul, En déduire la limite un quand utend vers + oo

-1< sin n< 1 donc -1/n²< sin n /n² <1/n²

Donc lim (-1/n²)=0 et lim (1/n²)=0; D'aprés le théorème des gendarmes lim un=0

2)Déterminer lim un où un= n²+sin(3n²-8)

-1< sin(3n²-8)<1 = -1+n²<n²+sin(3n²-8)<1+n²

lim (-1+n²)=+oo donc d'après le théorème de majoration lim un=+oo

Exercice 4 :

Déterminer les limite suivante, justifier les réponses.

a) lim'(4x^3-1)/(x^5+2) quand x tend vers +oo = lim (4/x²) [car e sont les terme de plus haut degrés]=0

b) lim1/cos x (quand x tend vers pi/2 positif)

lim cos x =0- Donx par invers =-oo

tableau de signe avec [0; pi/2[ positif et ]pi/2;pi] négatif

lim 1/cos x (quand x tend vers pi/2 négatif)

lim cos x =0+ Donc par inverse = +oo

c) tableau de signe pour sin x [-pi/2;0[ négatif- ]0;pi/2] positif

lim 1/sin x (quand x tend vers 0 positif)

lim sin x =0+ Donc par inverse = +oo

lim 1/sin x (quand x tend vers 0 négatif)

lim sin x = 0- Donc par invers = -oo

Exercice 5 :

a) Montrer que pour tout réel x, 1/3<= 1/(2+cos x)<=1

-1<=cos x<=1

1<= 2+cos x<=3

1/3<=1/2+cos x<=1

b)En déduire les limite quand x tend vers +oo de x/2+cos x et -x+3/2+cos x

1/3<=1/2+cos x<=1

x/3 x/2+cos x<=x

lim x/3=+oo et lim x/1=+oo donc D'après le théorème des gendarmes lim x/2+cos x =+oo

1/3<=1/2+cos x<=1

-x+3/3<= -x+3/2+cos x -x+3

-x<= -x+3/2+cos x -x+3

lim -x = -oo et lim -x+3 = -oo donc D'après le théorème des gendarmes lim (-x+3)/(2+cos x) = -oo

et voila tous se que j'ai fai sur mon DM de math j'ai même coriger des fautes que j'avais faite ^^

merci d'avance pour votre aide =D

[namoureuse]

j'aimerais bien que quelqu'un me répondent au moins pour voir si je n'est pas fait de trop grosse faute que je puisse corriger mon erreure la prochaine fois s'il vous plait