Intégrale

[edde]

bonsoir à tous, j'aurai besoin d'une vérification en ce qui concerne un dm et d'une petite aide sur une question merci de votre aide

Enoncé : <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">Pour tout entier naturel n strictement superieur à 0, on considère l'intégrale : <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">In = ( ln x ) ^n dx ( pour l'intégrale c'est entre 1 et e ) <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">1) a) Montrer que pour tout x dans l'intervalle ] 1 ; e[ et pour tout entier naturel n on a : (ln x) ^n - (ln x )^(n+1) strictement supérieur à 0. <BR minmax_bound="true"> b) en déduire que la suite (In) est décroissante.<BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">2)a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer I1 <BR minmax_bound="true"> b)Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout n non nul, In+1 = e - (n+1) In <BR minmax_bound="true"> c) en déduire I2, I3, I4. Donner des valeurs exactes exprimées en fonction de e puis les valeur approchées à 10^-3 près par defaut.<BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">3)a)Démontrer que pour tout n non nul In 0 <BR minmax_bound="true"> b) Démontrer que pour tout n non nul (n+1) In e <BR minmax_bound="true"> c) en déduire la limite de la suite <BR minmax_bound="true"> d) Déterminer la valeur de nIn + ( In + In+1) et en déduire la limite de nIn. <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">Ce que j'ai fait : <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">1)a) (ln x) ^n - (ln x )^(n+1) correspond à (ln x) ^n ( 1- ln x ) <BR minmax_bound="true">ln x est positif donc (ln x)^n est positif <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">1- ln x 0 équivaut à x e donc sur ]1;e[ ( 1-ln x ) est postif <BR minmax_bound="true">Donc (ln x) ^n - (ln x )^(n+1) 0 <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">b) (ln x)^n (ln x ) ^(n+1) <BR minmax_bound="true">Mais je ne vois pas quoi dire de plus. <BR minmax_bound="true">

2)b)<BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">In +1 = x * (lnx ) ^( n+1) dx = [ x (ln x)^(n+1)] - x (n+1) (1/x) * (ln x)^n dx <BR minmax_bound="true" après simplification = e- (n+1) (ln x)^n = e-(n+1 ) In <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">Du coup je fais la c ) <BR minmax_bound="true">I2 = e-2 = 0.718<BR minmax_bound="true">I3= 6-2e = 0.563<BR minmax_bound="true">I4= 9e -24 = 0.464 <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">Est ce juste ? <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">3a) ln x positif sur ] 1 ; e[ donc In 0 <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">b) D'après la question 2)b) In+1 = e-(n+1) In <BR minmax_bound="true">D'après la question précédente In est postive donc e-(n+1) In 0 donc (n+1) In e <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">c) In e / (n+1) <BR minmax_bound="true">Lim (n+1) = +infini (quand n tend vers +inf)<BR minmax_bound="true">lim e/(n+1) = 0 donc par comparaison lim In = 0 <BR minmax_bound="true">

est ce corret la méthode sur cette question?

<BR minmax_bound="true">d) Je ne trouve pas.

merci de votre aide<BR minmax_bound="true">merci

[edde]

mince

[edde]

Pour tout entier naturel n strictement superieur à 0, on considère l'intégrale : <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">In = intégrale ( ln x ) ^n dx ( pour l'intégrale c'est entre 1 et e ) <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">1) a) Montrer que pour tout x dans l'intervalle ] 1 ; e[ et pour tout entier naturel n on a : (ln x) ^n - (ln x )^(n+1) strictement supérieur à 0. <BR minmax_bound="true"> b) en déduire que la suite (In) est décroissante.<BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">2)a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer I1 <BR minmax_bound="true"> b)Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout n non nul, In+1 = e - (n+1) In <BR minmax_bound="true"> c) en déduire I2, I3, I4. Donner des valeurs exactes exprimées en fonction de e puis les valeur approchées à 10^-3 près par defaut.<BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">3)a)Démontrer que pour tout n non nul In >(ou égal) 0 <BR minmax_bound="true"> b) Démontrer que pour tout n non nul (n+1) In < (ou égal) e <BR minmax_bound="true"> c) en déduire la limite de la suite <BR minmax_bound="true"> d) Déterminer la valeur de nIn + ( In + In+1) et en déduire la limite de nIn. <BR minmax_bound="true"><BR minmax_bound="true">