Arithmétique

[kurtie]

Bonjour !

Voici mon énoncé :

Soit p un nombre premier (p>ou=5) et A={2 ;… ;p-2}.

J’ai déjà démontré que, pour tout x qui appartient à A, x2 – 1 n’est pas divisible par p.

a)soit x qui appartient à A : prouver qu’il existe un entier u tel que : x.u est congrus à 1 mod p.

je me doute qu’il faudrait utiliser le théorème de Bezout disant que « a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe 2 entiers relatifs u et v tels que au+bv=1 », mais je ne vois pas trop comment l’utiliser !

en fait dire que x.u est congrus à 1 mod p équivaut à dire que xu/p et 1/p ont le même reste, n’est ce pas ? mais ensuite…

après quelques autres questions on nous propose :

réciproquement, soit p un entier (p>ou=2) tel que (p-1) ! est congrus à –1 mod p. En utilisant l’égalité de Bézout, montrer que p est premier.

Et j’ai toujours ce problème avec ce théorème…

Je sais cependant que (p-1) !=1x…x(p-1)

Pourriez-vous m’aider svp ?

[philippe]

bonjour,

1.

p n'est pas dans A.

donc x et p sont premiers entre eux

donc (Bezout), il existe u et v relatifs tq: xu+pv=1

donc xu=1-pv

je te laisse finir

remarque:

x.u est congrus à 1 mod p équivaut à dire que xu/p et 1/p ont le même reste, n’est ce pas ?