1Ère S

[cross-over]

Bonjour,

J'ai quelques exercices à faire sur le comportement asymptotique des fonctions en vue de préparer le devoir mais j'ai beaucoup de mal. J'aimerais que quelqu'un me les corrige afin que je puisse comprendre avec la correction.

Exercice 1 :

Une fonction f n'est pas définie en un réel a. Natacha affirme alors qu'elle a une limite infinie en a, au moins à droite ou à gauche.

A-t-elle raison ?

Pour le savoir, faites le travail ci-dessous.

a) Dans un repère, P est la parabole d'équation y=x². A et M sont les points de P d'abscisses respectives 1 et x où x est un réel quelconque différent de 1.

f est la fonction qui, à tout réel x différent de 1, fait correspondre le coefficient directeur de la droite (AM).

Étudier la limite de f en 1.

b) Conclure : que penser de l'affirmation de Natacha ?

Exercice 2 :

Pour tout réel m, on désigne par f(m) la plus petite solution dans R de l'équation (Em) d'inconnue x suivante :

x(mx-1)=0.

1°a) Résoudre dans R : (E1), (E2), (E0), (E-1), (E-2).

b) En déduire f(1), f(2), f(0), f(-1) et f(-2).

2°a) Résoudre dans R l'équation (Em) lorsque m≠0.

b) Préciser les valeurs de f(m) suivant les valeurs du réel m.

3°) Dans un repère, C est la courbe représentant la fonction f définie sur R par m->f(m).

a) Démontrer que C admet une asymptote verticale.

b) Tracer l'asymptote et C.

4°) L'affirmation "Si la courbe représentative d'une fonction g admet une asymptote verticale d'équation x=a, alors g n'est pas définie en a", est-elle correcte ?

Exercice 3 :

f est la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=(3x-3)/(x+1).

1°a) Déterminer deux réels a et b tels que pour tout réel positif x :

(3x-3)/(x+1) = a+b/(x+1).

b) Étudier la limite de f en +∞.

2°) Étudier les variations de f sur [o;+∞[ et dresser son tableau de variations.

3°a) Justifier que la courbe C qui représente f dans un repère, admet une asymptote d.

b) Tracer d et C.

4°a) Prouver que si x>5, alors 2<f(x)<3.

b) Quels sont les entiers naturels non nuls x tels que x+1 divise 3x-3 ?

Merci d'avance.

cross-over.

[luckwisher]

Bonjour,

J'ai quelques exercices à faire sur le comportement asymptotique des fonctions en vue de préparer le devoir mais j'ai beaucoup de mal. J'aimerais que quelqu'un me les corrige afin que je puisse comprendre avec la correction.

Exercice 1 :

Une fonction f n'est pas définie en un réel a. Natacha affirme alors qu'elle a une limite infinie en a, au moins à droite ou à gauche.

A-t-elle raison ?

Pour le savoir, faites le travail ci-dessous.

a) Dans un repère, P est la parabole d'équation y=x². A et M sont les points de P d'abscisses respectives 1 et x où x est un réel quelconque différent de 1.

f est la fonction qui, à tout réel x différent de 1, fait correspondre le coefficient directeur de la droite (AM).

Étudier la limite de f en 1.

- coeff directeur de AM et définition de f:

f(x)=(y_A-y_M)/(x_A-x_M)=(1-x²)/(1-x)

Df = ensemble des réels privé de 1

on rencontre une forme indéterminée pour la limite de f en 1 si on utilise l'expression de f initiale.

Factorisation et simplification:

f(x) = (1-x²)/(1-x) = (1-x)(1+x)/(1-x) = 1+x, x différent de 1

on trouve alors que la limite de f en 1 est 2.

b) Conclure : que penser de l'affirmation de Natacha ?

La supposition de Natacha n'est pas correcte, la limite est finie et égale à 2.

Exercice 2 :

Pour tout réel m, on désigne par f(m) la plus petite solution dans R de l'équation (Em) d'inconnue x suivante :

x(mx-1)=0.

1°a) Résoudre dans R : (E1), (E2), (E0), (E-1), (E-2).

(E1) : x=0 ou x=1

(E2) : x=0 ou x=1/2

(E0) : x=0

(E-1) : x=0 ou x=-1

(E-2) : x=0 ou x=-1/2

b) En déduire f(1), f(2), f(0), f(-1) et f(-2).

f(1) = min{0,1} = 0

f(2) = min{0,1/2} = 0

f(0) = 0

f(-1) = min{0,-1} = -1

f(-2) = min{0,-1/2} = -1/2

2°a) Résoudre dans R l'équation (Em) lorsque m≠0.

(Em) : x=0 ou x=1/m

b) Préciser les valeurs de f(m) suivant les valeurs du réel m.

f(m)=min{0,1/m}

soit:

f(m)=0 si m>0

et

f(m)=1/m si m<0

3°) Dans un repère, C est la courbe représentant la fonction f définie sur R par m->f(m).

a) Démontrer que C admet une asymptote verticale.

la limite de f(m) lorsque m tend vers 0 et m<0 est égale à la limite de 1/m, soit -∞

donc C admet une asymptote verticale en 0, par valeur inférieure.

b) Tracer l'asymptote et C.

4°) L'affirmation "Si la courbe représentative d'une fonction g admet une asymptote verticale d'équation x=a, alors g n'est pas définie en a", est-elle correcte ?

cette affirmation n'est pas correcte. Contre-exemple:

g(m)=0 si m>=0

et

g(m)=1/m si m<0

La courbe représentative admet une asymptote verticale en 0, par valeur inférieure, comme démontré en 3°)a), elle est pourtant bien définie en 0 et vaut 0.

Exercice 3 :

f est la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=(3x-3)/(x+1).

1°a) Déterminer deux réels a et b tels que pour tout réel positif x :

(3x-3)/(x+1) = a+b/(x+1).

(3x-3)/(x+1) = a+b/(x+1)

< = >

(3x-3) = a+b , x différent de -1 (vérifié par Df)

Par identification: a=3 et b=-3

b) Étudier la limite de f en +∞.

Avec l'expression initiale de f, on aboutit à une forme indéterminée infini/infini

Factorisation par le terme de plus haut degré:

f(x)=(3x-3)/(x+1)= (3-3/x)/(1+1/x)

La limite de f en +∞ est donc 3

2°) Étudier les variations de f sur [o;+∞[ et dresser son tableau de variations.

on peut écrire f:

f(x) = (3x-3)/(x+1) = (3x+3-6)/(x+1) = (3(x+1)-6)/(x+1)=3-6/(x+1)

Dérivation:

f'(x) = 6/(x+1)², Df'=[0;+∞[

f'(x)>0 quel que soit x, donc f(x) strictement croissante sur Df

3°a) Justifier que la courbe C qui représente f dans un repère, admet une asymptote d.

D'après 1°)b), la limite de f en +∞ est 3 donc C admet une asymptote horizontale y=3 en +∞

b) Tracer d et C.

4°a) Prouver que si x>5, alors 2<f(x)<3.

x>5

< = > x+1>6

< = > 1/(x+1)<1/6 car la fonction inverse est décroissante sur [0,+∞[

< = > -6/(x+1)>-1

< = > f(x)>2

or on a vu que la limite de f en +∞ est 3, donc 3 majore f.

conclusion:

x>5 => 3>f(x)>2

b) Quels sont les entiers naturels non nuls x tels que x+1 divise 3x-3 ?

(3x-3)/(x+1) = 3-6/(x+1)

3-6/(x+1) est un nombre entier si 6/(x+1) est un nombre entier, si x+1 est multiple de 6. Ce qui donne: x=5(n+1) avec n entier naturel

Merci d'avance.

cross-over.

[cross-over]

Merci beaucoup

Cordialement

cross-over