Dévellopements Limités

[anne.bak]

alors voilà le début de mon intense réflexion

pour le quatrième DL, je suis pas sure vu que c'est une composition et que 1+arctan(x) ne tend pas vers zzéro quand x tend vers zéro.

j'ai aussi un DL que je n'arrive pas à calculer : racine de (1+sinx) à l'ordre 3. c'est pareil, c'est la composition qui bloque

merci beaucoup de votre aide !!

[philippe]

bonjour,

je trouve:

1.

j'ai 15/8x^4 au lieu de 139/72x^4

remarque: 15/8=135/72

peut être une petite erreur de calcul s'est glissée

2.

x^3/3 au lieu de x^3/6

3 et 4.

ok

5.

trouve

x-x^3/6+3x^5/40

6.

ok

[anne.bak]

merci beaucoup d'avoir répondu si vite !!

pour le 1 c'était bien une erreur de calcul (un 6 qui s'est transformé en 9 dans la bataille !!)

pour le 2 j'ai aussi retrouvé mon erreur.

le problème pour le 5 c'est que je ne vois pas comment utiliser la dérivée pour calculer les DL (à mon avis on ne doit pas utiliser la formule de taylor young vu que c'est la question d'après!!)

pour racine de (1+sinx) à l'ordre 3 j'ai trouvé : 1+x/2 - (x^2)/8 - (x^3)/48

pour les calculs de limites, il y a un truc pour savoir à quel ordre commencer les calculs ou il faut toujours y aller au "pifomètre" ?

[philippe]

pour le 5.,

le DL de f' est plus simple à obtenir.

Ensuite intégration du DL pour trouver celui de f (attention à ne pas oublier le coef constant lors de l'intégration)

Ce procédé est souvent très utile

(par exemple connais le DL de x->1/(1+x) et retrouve celui de x->ln(1+x), c'est plus simple)

Quant à savoir l'ordre à pousser,

tu sais que le Dl de sinh commence par x

donc x-sinh(x) va encore donner 0

par conséquent il faut au moins aller jusqu'à l'ordre 3

A force d'en faire, tu auras le bon coup d'oeil, c'est une question d'entrainement.

N'hésite donc pas à en faire encore et encore (et puis c'est un bon moyen d'avoir en tête les DL usuels)

voila, bon courage pour la suite

[anne.bak]

merci !! je remets la suite en fichier joint.

pour racine de (1+sinx), j'ai posé u=sinx et j'ai remplacé dans la formule du DL de (1+u)^p. mais je ne suis pas sure vu que c'est une composition de fonctions et d'après le théorème de composition, ce qu'il y a sous la racine devrait tendre vers 0 quand x tend vers 0.

en tout cas merci beaucoup, je commence à maitriser un peu mieux les développements limités.

[philippe]

on est d'accord pour le DL de

(1+sin(x))

1.

DL de

(1+x+x²)^(1/3) : je trouve 8/243 au lieu de 62/243

2.

le suivant: ok aussi

3.

par contre, c'est bien f(x)/sin(x)^7?

4.

on peut définir le prolongement par:

f*(x)= f(x) si x<>0 et 2 si x=0

dérivabilité en 0:

(revenir à la définition)

étudie la limite en 0 (DL...) de :

[f(x)-f(0)]/(x-0)=[f(x)-2]/x

tu trouveras -1/3.

(au voisinage de 0),

f(x)=2-x/3+o(x)

équation de la tangente en 0: y=2-x/3

(si tu pousses le DL plus loin:

f(x)=2-x/3-x²/6+o(x))

j'espère que ça ira

[anne.bak]

merci beaucoup!!!

je vais revoir mes calculs.

par contre, il n'y a pas d'erreurs pour g(x) : c'est bien f(x) divisé par (sinx) ^7

mais bon je vois pas trop où ils veulent en venir : j'ai essayer de calculer g(x) mais je n'arrive pas à grand-chose !

[anne.bak]

il y quelque chose que je ne comprends pas dans le principe des DL : j'ai un exemple dans le cours : DL de exp(cosx). le prof a transformé l'écriture pour avoir quelque chose qui tend vers 0 (pour pouvoir utiliser le théorème de composition) il est arrivé à exp(1)*exp(cosx-1) et cosx -1 tend vers 0 quand x tend vers 0.

pourquoi est-ce qu'on ne peut pas faire le DL de cosx, le poser égal à u et faire le DL de exp(u) ?

par contre pour le DL de (1+sinx), on y va directement en posant u=sinx

donc je ne comprends pas trtop quand utiliser le théorème de composition et quand utiliser les formules des DL directement

merci !!

[philippe]

ça va être simple, tu vas voir!

en général (pour les DL usuels) on cherche un DL en 0

(d'ailleurs par changement de variable, on peut toujours se ramener à la recherche d'un DL en 0, donc autant apprendre ceux là)

prenons ton exemple: f(x)=exp(cos(x))

au voisinage de 0:

on connait le DL de cos :

cos(x)=1-x²/2+o(x^3) (ordre 2 par exemple)

de même,

on connait le DL de exp :

exp(y)=1+y+y²/2+o(y²) (ordre 2 par exemple)

si tu cherches le DL de exp(cos(x)) en 0

pour le cos pas de pb tu connais

mais y=cos(x) tend vers 1 en 0

il faudrait donc que tu détermines le DL de exp(y) en 1

le plus simple est de modifier la fonction:

exp(cos(x))=e.exp(cos(x)-1)

pour le DL de cos pas de pb

et cette fois:

vu que y=cos(x)-1 tend vers 0 en 0 ALORS tu peux utiliser la formule du DL de exp en 0

tu vois?

un autre exemple: DL ordre 3 au voisinage de 0 pour f(x)=(1+x)^(1/x)

le plus sage à faire:

f(x)=exp[1/x.ln(1+x)]

y=ln(1+x)/x=1-x/2+x²/3-x^3/4+o(x^3)=1+u

exp(y)=exp(1+u)

ici, pareil : tu ne peux pas écrire le DL de exp(y) en 0 et remplacer y par 1+u ensuite car y=1+u ne tend par vers 0 mais vers 1

(puisque x->0 => u->0 => y->1)

donc tu écris:

exp(y)=e.exp(u) et maintenant ça marche

après calculs:

exp(u)=1-x/2+11/24x²-7/16x^3+o(x^3)

donc

f(x)=e-ex/2+11e/24x²-7e/16x^3+o(x^3)

un autre pour t'entraîner: (si tu veux)

limite en pi/2 de (x-pi/2)tg(x)

(pose x=pi/2+u pour te ramener au calcul d'une limite en 0.

trouve -1)

donc, rappelle toi:

si y=g(x) admet un DL en x0

et f(y)=f(g(x)) admet un DL en y0=g(x0)

alors f(g(x)) admet un DL en x0

[anne.bak]

ça y est j'ai compris !!!

merci beaucoup !!

[anne.bak]

j'ai une limite à calculer : limite quand x tend vers + de :

[(2^(1/x) + 3^(1/x))/2]^x

j'ai posé X=1/x et j'arrive à cette limite : exp((ln2)/2+(ln3)/2)

j' ai vérifié à la calculatricee, ça a l'air d'être ça mais dès que je prends des valeurs très grandes, elle me dit que ça vaut 1

donc je sais pas si c'est moi ou la calculatrice qui buge

merci de m'éclairer (en espérant que ça soit la calculatrice :P )

[philippe]

tu ne te trompes pas rassure toi.

par contre ton résultat peut se simplifier énormément... je te laisse voir comment.

il faut se méfier de sa calculatrice : voilà la leçon! (celles qui n'intègrent pas de logiciel de calcul formel ont tendance à se tromper! oui, les erreurs d'arrondi ça peut faire mal...)

bon week

[anne.bak]

Merci, je suis rassurée :P