Exo

[momovalintin]

un materiel d'une valeur d'achat de 336160£ peut etre amortie suivant 2modalités:

a/ amortissement annuel en progression geometrique de 1er terme 100000£ et de raison 0.8

b/ amortissement en progression arithmetique de 1er terme 60000£ et de raison 3616£.

calculer la durée de l'amortissement dans les 2hypotheses

[Ericovitchi]

Donc pour la progression géométrique le premier terme est 100000, le second 100000 x 0.8 etc ..... le nième 100 000 x 0.8 ^n

Donc la somme de 336160 sera remboursée en n années telles que 336160 = 100 000 (1+0.8+ .... + 0.8^n) = 100 000 (1-0.8)^(n+1) / (1-0.8)

D'où 1-0.8^n= 336160/100000 x 0.2 ou encore 0.8^n=1-336160/500000 ou 0.8^n = 1024/3125 et en prenant le ln

n = (-5 log(5)+log(1024))/(log(4)-log(5))~5

Pour la progression arithmétique, la première échéance est 60000, la seconde 60000 + a etc .... la nième 60000 + na

Si on additionne tout ça donne 60000 (n+1) + (a+2a+ ... + na) = 60000 (n+1) + n(n+1)a/2 (avec a = 3616)

Il faut donc résoudre l'équation du second degré : 336160 = 60000(n+1) + 3616n(n+1)/2

elle s'écrit 1808 n²+61808 n+60000 = 336160 et on trouve assez facilement les deux racines. On ne conserve que la racine positive n = 4

Conclusion : La progression géométrique rembourse en 5 ans et la progression arithmétique en 4 ans.