Exercice Bizarre

[qatar]

Je suis en TS et voici encore un exo qui me pose pb :

On se propose de rechercher des conditions necessaires que doivent vérifier les fonctions , s'il en existe, dérivebles sur R satisfaisant la condition suivante notée (F) : pour tous réels x et y, f(x+y)=f(x)f(y).

1. Prouver que pour une telle fonction f(0) ne peut prendre que deux valeurs. (Indication : faire x=y=0 dans la relation (F) ).

2. Prouver que si f(0)=0 alors f est la fonction identiquement nulle i.e. telle que pour tout x reel f(x)=0.

On suppose pour la suite que f(0)=1.

3. Montrer que f doit etre solution d'une équation du type f'=kf i.e. pour tout reel x : f'(x)=kf(x). (Une telle équation est appelée différentielle du premier ordre ; l'inconnue est ici la fonction f).(Indication : dériver les deux membres de (F) par rapport à y en considérant donc x et f(x) comme des constantes).

Je n'arrive pas à démarrer dc je suis ouvert à toutes les pistes et explications qui me permettront d'avancer.

Thx.

[philippe]

bonsoir,

1.

qu'obtiens tu comme relation si x=y=0?

2.

fais y=0

si f(0)=0 alors qu'obtiens tu?

3.

dérive (comme il est dit) la relation /y et fait y=0.