Fonction Logarithme Népérien

[JulesTSD]

Bonjour j'ai un exercice type bac a faire dont je bloque a certaines questions.

f est la fonction définie sur ]0;+inf [

f(x)= ln(x)/x²

1) étudiez les variations de f.

la dérivée est de forme u/v

((1/x)*x² -2x*ln(x) )/ (x²)² = x-2xln(x)/ x^4

Soit entre -inf et 0 il croit puis entre 0et 1 il décroit puis entre 1 et +inf elle croit.

2) on note A le pointd'abscisse 1.

trouver une équation de tangente en A.

f'(1)(x-1)+f(1)

3) M est un point de de la courbe d'abscisse u .

Démontrez que la tangente à la courbe en M est parellèle à la droite d'équation y=x si et seulement si :

u^3-1 + 2ln(u) = 0 (1)

4)a partie de l'équation (1), démontrez que A est le seul point de la courbe en lequel la tangente est parllèle à la droite d'aquation y=x

[Ericovitchi]

Donc tu sais tout faire ? Quelle question te pose problème ?

[JulesTSD]

non la 3 et la je n'ai aucune idéee de comment s'y prendre et j'aurais voulu savoir si ma dérivée était bonne.

[Ericovitchi]

Oui la dérivée c'est OK mais tu peux simplifier un x.

Donc la dérivée s'annule pour ln x = 1/2 donc x= racine (e) je ne suis pas sûr que c'est ça que tu as marqué.

La tangente en M parallèle à Y=x ?

La pente de la tangente c'est la valeur de la dérivée donc il faut écrire que f '(u) = 1 donc (1-2ln(u))/u^3 = 1 ou encore u^3-1 + 2ln(u) = 0 qui est l'équation qu'ils ont demandé de démontrer.

[Ericovitchi]

Et pour la dernière question, étudies par exemple la fonction u^3-1 + 2ln(u) on voit vite que la dérivée est toujours positive et que donc la fonction est toujours croissante et ne coupe donc l'axe des x qu'en un seul point.

Et comme on connait le point en question (u=1), il est donc unique.