Equation Différentielle

[lucile123]

Pouvez-vous me corriger svp:

Trouver les solutions de:

1) (x²-1)y'+xy = 0 sur ]-1;1[

2) (x²-1)y' + xy = 1 sur ]-1;1[

3) y' = (2/x)y + x sur ]0;+infini[

Pour la 1)

on a: y' = (-x/x²-1)y

équivaut à : y'/y = -x/(x²-1)

équivaut à: ln(y) = -1/2ln(x²-1)

y=1/((x²-1)) ??

2) Est ce qu'il faut utiliser la méthode de la variation de la constante?

Merci

[Boltzmann_Solver]

Pouvez-vous me corriger svp:

Trouver les solutions de:

1) (x²-1)y'+xy = 0 sur ]-1;1[

2) (x²-1)y' + xy = 1 sur ]-1;1[

3) y' = (2/x)y + x sur ]0;+infini[

Pour la 1)

on a: y' = (-x/x²-1)y

équivaut à : y'/y = -x/(x²-1)

équivaut à: ln(y) = -1/2ln(x²-1)

y=1/((x²-1)) ??

2) Est ce qu'il faut utiliser la méthode de la variation de la constante?

Merci

[lucile123]

2) (x²-1)y' + xy = 1 sur ]-1;1[

Tu connais déjà la méthode de la variation de la constante!!!

A bon?je ne me rappelle pas l'avoir vu en physique et les équation différentielle sont résolue exactement de la même façon qu'en physique?

Ici: On résout l'équation sans second membre: (x²-1)y'+xy=0

équivalent à: y' + [x/(x²-1)]y = 0

La solution de l'ESSM est déjà donné au 1): C/ (1-x²).

Pour la solution particulière, si on pose y=constante, alors y=1/x mais x n'est pas constant??

[Boltzmann_Solver]

2) (x²-1)y' + xy = 1 sur ]-1;1[

Tu connais déjà la méthode de la variation de la constante!!!

A bon?je ne me rappelle pas l'avoir vu en physique et les équation différentielle sont résolue exactement de la même façon qu'en physique?

Ici: On résout l'équation sans second membre: (x²-1)y'+xy=0

équivalent à: y' + [x/(x²-1)]y = 0

La solution de l'ESSM est déjà donné au 1): C/ (1-x²).

Pour la solution particulière, si on pose y=constante, alors y=1/x mais x n'est pas constant??

[lucile123]

Merci;

Je ne comprend plus à partir de:

z'(x) = 1/(yo*(x²-1)) = -sqrt(1-x²)/(1-x²) = -1/sqrt(1-x²)

Donc z(x) = acos(x) + D ou D app à R. Donc la solution complète est :

y(x) = C/sqrt(1-x²) + acos(x) + D.

[Boltzmann_Solver]

Merci;

Je ne comprend plus à partir de:

z'(x) = 1/(yo*(x²-1)) = -sqrt(1-x²)/(1-x²) = -1/sqrt(1-x²)

Donc z(x) = acos(x) + D ou D app à R. Donc la solution complète est :

y(x) = C/sqrt(1-x²) + acos(x) + D.

[lucile123]

Oui j'ai vu les primitives de arc

z'(x) = 1/(yo*(x²-1)) en remplaçant yo par y(x)/z(x) j'obtient:

z'(x)/z(x) = 1/(yo*(x²-1))

J'intègre des 2 côtés?

[Boltzmann_Solver]

Oui j'ai vu les primitives de arc

z'(x) = 1/(yo*(x²-1)) en remplaçant yo par y(x)/z(x) j'obtient:

z'(x)/z(x) = 1/(yo*(x²-1))

J'intègre des 2 côtés?

[lucile123]

Je vais essayer de faire la dernière:

3) y'=(2/x)y +x

équivalent à : y' - (2/x)y = x

On pose y(x)=z(x)*yo(x) tel que yo(x) est solution de l'ESSM soit y'o - (2/x)yo =0

y'(x)= z'(x)*yo(x)+z(x)*y'o(x).

En remplaçant dans l'équation, on obtient:

z'(x)*yo(x)+z(x)*y'o(x) - (2/x)*z(x)*yo(x) = x équivalent à:

z'(x)*yo(x)+[y'o(x)-(2/x)*yo(x)]z(x) = x équivalent à:

z'(x) = [x - [y'o(x)-(2/x)*yo(x)]z(x) ]/yo(x).

Comment je continue??

[Boltzmann_Solver]

Je vais essayer de faire la dernière:

3) y'=(2/x)y +x

équivalent à : y' - (2/x)y = x

On pose y(x)=z(x)*yo(x) tel que yo(x) est solution de l'ESSM soit y'o - (2/x)yo =0

y'(x)= z'(x)*yo(x)+z(x)*y'o(x).

En remplaçant dans l'équation, on obtient:

z'(x)*yo(x)+z(x)*y'o(x) - (2/x)*z(x)*yo(x) = x équivalent à:

z'(x)*yo(x)+[y'o(x)-(2/x)*yo(x)]z(x) = x équivalent à:

z'(x) = [x - [y'o(x)-(2/x)*yo(x)]z(x) ]/yo(x).

Comment je continue??

[lucile123]

Merci;

Je ne comprend plus à partir de:

z'(x) = 1/(yo*(x²-1)) = -sqrt(1-x²)/(1-x²) = -1/sqrt(1-x²) Moi je trouve +1/sqrt(1-x²), c'est donc arcsin

Donc z(x) = acos(x) + D ou D app à R. Donc la solution complète est :

Finelement : y(x) = (acos(x)+D')/sqrt(1-x²)

Là vous avez refait: y(x) = z(x)*yo?

Pas facile tout sa!!

[lucile123]

3) y'=(2/x)y +x

Donne moi l'ESSM pour le moment.

[Boltzmann_Solver]

Merci;

Je ne comprend plus à partir de:

z'(x) = 1/(yo*(x²-1)) = -sqrt(1-x²)/(1-x²) = -1/sqrt(1-x²) Moi je trouve +1/sqrt(1-x²), c'est donc arcsin

Donc z(x) = acos(x) + D ou D app à R. Donc la solution complète est :

Finelement : y(x) = (acos(x)+D')/sqrt(1-x²)

Là vous avez refait: y(x) = z(x)*yo?

Pas facile tout sa!!

[lucile123]

z'(x) = 1/(yo*(x²-1)) Ca tu es d'accord?

yo(x) = 1/sqrt(1-x²) Donc,

z'(x) = sqrt(1-x²)/((x²-1)) Là, il faut changer le signe de x²-1. Donc,

z'(x) = -sqrt(1-x²)/((1-x²)) Or, sur le Df, 1-x² > 0. Donc,

z'(x) = -sqrt(1-x²)/(sqrt(1-x²))^2

z'(x) = -1/sqrt(1-x²)

z(x) = acos(x) + D

[Boltzmann_Solver]

z'(x) = 1/(yo*(x²-1)) Ca tu es d'accord?

yo(x) = 1/sqrt(1-x²) Donc,

z'(x) = sqrt(1-x²)/((x²-1)) Là, il faut changer le signe de x²-1. Donc,

z'(x) = -sqrt(1-x²)/((1-x²)) Or, sur le Df, 1-x² > 0. Donc,

z'(x) = -sqrt(1-x²)/(sqrt(1-x²))^2

z'(x) = -1/sqrt(1-x²)

z(x) = acos(x) + D

[lucile123]

Je t'avais dit de commencer par l'ESSM et j'avais raison, ton yo est faux!

[Boltzmann_Solver]

Je t'avais dit de commencer par l'ESSM et j'avais raison, ton yo est faux!

[lucile123]

Hihi, tu es à nouveau tombée dans le piège. es tu sûre que un primitive de 1/x soit -1/x²?

[Boltzmann_Solver]

Hihi, tu es à nouveau tombée dans le piège. es tu sûre que un primitive de 1/x soit -1/x²?

[lucile123]

Faux : (-1/x²)' = (-1)*(-2)*x^(-3) = 2/x³.

Mais tu as

y'/y = 2/x. Une primitive de 1/x????

PS : 1/x ou 2/x, c'est la même chose, il suffira de multiplier par 2 (l'intégration est un opérateur linéaire).

[lucile123]

a oui, ln(x)

[Boltzmann_Solver]

a oui, ln(x)

[lucile123]

a oui, ln(x)