Vecteur Normal A Un Plan

[xkim]

Bonjour,

J ai A(3;-2;2) B(6;-2;-1) et C(6;1;5).

1) Fait

2) Verifier que le vecteur n(1;-2;1) est normal au plan (ABC).

Determiner une equation du plan.

J ai essayer :

AB.n=0 et AC.n=0 et par systeme

Je trouve y=0 et x=-z

Mais je trouve donc n(-1;0;1)

Aidez moi sil vous plait & bonnes fetes!

[casidomo]

vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés en montrant que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires par exemple.

Montrer effectivement que que AB.n=0 et AC.n=0. En conclure que n est normal au plan ABC.

Puisque le vecteur n est normal à ABC, une équation du plan s'écrit 1.x + (-2).y + 1.z + c = 0

Pour calculer c, remplacer x, y et z par les coordonnées de A (ou B ou C).

Une équation de ABC : x - 2y + z - 9 =0

[xkim]

vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés en montrant que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires par exemple.

Montrer effectivement que que AB.n=0 et AC.n=0. En conclure que n est normal au plan ABC.

Puisque le vecteur n est normal à ABC, une équation du plan s'écrit 1.x + (-2).y + 1.z + c = 0

Pour calculer c, remplacer x, y et z par les coordonnées de A (ou B ou C).

Une équation de ABC : x - 2y + z - 9 =0

[xkim]

C'est tout de suite plus simple.

Je trouve les deux egalites.

Et d(ou c pour toi) je trouve -9 est ce correcte?

Et donc pour equation du plan x-2y+z-9=0 ?

[xkim]

Pouvez vous aussi verifier mes resultats je dois trouver la distance

Du point D(4;0;-1) au plan.

Je trouve 2,45 cm.

Exact??

[casidomo]

Comment avez-vous calculé la distance de D à ABC ?

[casidomo]

Je trouve sqrt(6) = 2,425 (je vérifie)

[casidomo]

Vérifier que D n'appartient pas à ABC sinon la réponse est triviale.

Soit H le projeté orthogonal de D sur ABC ; Calculer les coordonnées de H. Il y a plusieurs solutions.

Ecrire par exemple que DH et n sont colinéaires : DH = k n ou k est un réel. (n'oubliez pas les flèches sur DH et n )

x - 4 = k.1 ; y - 0 = k.(-2) ; z - (-1) = k.1 d'ou x = 4 + k ; y = -2k ; z = k - 1.

Ecrire que H appartient à ABC :

(k + 4 ) -2(-2k) + (k - 1) - 9 = 0 d'où k = 1 et par suite H( 5 ; -2 ; 0)

DH = n et dc la distance de D à ABC est : sqrt( 1² + (-2)² + 1²) = sqrt(6).

Bon courage et bonne année.

[xkim]

J'ai tout simplement utilisé la formule de la distance d'un point à un plan. Si je l'applique je trouve 2,45 la différence avec ton 2,425 c'est que je n'ai pris que des valeurs arrondis pour mon calcul. Mais le resultat est quasi le même. Je retiens ta solution quand même. Merci pour ton aide. BOnne année.

[casidomo]

Avec la formule du cours (c'est immédiat) et surement attendu :

d(D,ABC) = V.A.(ax_D + by_D + cz_D +d)/ sqrt(a² + b² +c²) = VA(1x4 - 2x0 + 1x(-1) - 9)/ sqrt( 1² + (-2)² + 1²)= VA(-6) / sqrt(6) = sqrt(6) où VA désigne la valeur absolue, et sqrt la racine carrée.

[xkim]

Avec la formule du cours (c'est immédiat) et surement attendu :

d(D,ABC) = V.A.(ax_D + by_D + cz_D +d)/ sqrt(a² + b² +c²) = VA(1x4 - 2x0 + 1x(-1) - 9)/ sqrt( 1² + (-2)² + 1²)= VA(-6) / sqrt(6) = sqrt(6) où VA désigne la valeur absolue, et sqrt la racine carrée.