Matrice Je Ne Comprends Pas La Correction

[rapsa]

bonjour

j'ai un exercice qui est corrigé mais que je ne le comprends ou on me demande de determiner les valeurs propres

la matrice est

A=1 -3 3

3 -5 2

6 - 6 3

Les valeurs propres de A sont les racines de son polynôme caractéristique det (A .. I).

det (A .. lamda I) =

1-lamda - 3 3

3 -5-lamda 2

6 -6 3-lamda

=

1-lamda -3 0

3 -5-lamda -3-lamda

6 -6 -3-lamda

(C3=C2+C3)

= (3 + lamda) 1-lamda - 3 0

3 -5 -lamda -1

6 -6 -1

= (3 +lamda)

-2 -lamda - 3 0

-2-lamda -5-lamda -1

0 -6 -1

(C1=C1+C2)

= (2 + lamda)(3 +lamda)

-1 -3 0

-1 -5-lamda -1

0 -6 -1

= (2 + lamda)(3 + lamda)

-1 0 0

-1 -2-lamda -1

0 -6 -1

(C2=C2-3C1)

= (2 + lamda)(3 + lamda)(4-lamda)

Les valeurs propres sont lamda 1= -3, lamda2 = -2 et lamda3 = 4.

merci de votre aide

[casidomo]

Il s'agit de calculer le dét de la matrice A - kI (k à la place de lambda, c'est plus facile) en donnant le résultat ss une forme de produit de facteurs afin d'obtenir les valeurs propres, ce qui serait "coton" sinon dés que le dét est d'ordre 3 ou plus.

Pour facilité le calcul et obtenir cette factorisation on essaye d'obtenir une ligne (ou une colonne) du type (a₁₁ 0 0 0...) ou (0 a₂₂ 0 0 0...) etc.

On procède par combinaison linéaire des lignes ou colonnes comme lorsqu'on résout un système d'équations linéaires en multipliant ou divisant les lignes par un même nombre, en ajoutant ou retranchant 2 ou plusieurs lignes afin d'en obtenir une nelle. La difficulté, c'est de trouver les bonnes combinaisons.

Attention, pour un dét, qd on multiplie une ligne ou colonne par un nb, ne pas oublier de diviser le dét par ce nb.

Ds votre corrigé l'obtention des nelles colonnes est parfaitement expliquée.

-1 0 0

det(A - kI) =(k + 3 )(2 + k ) -1 -2-k -1

0 -6 -1

det(A - kI) = (k + 3 )(2 + k ) (-1) [ (-2 - k)(-1) - (-6)(-1)] = (k + 3) (2 + k )( 4 - k) (à vérifier)

[casidomo]

je n'arrive pas à remettre les lignes -1 0 0 et 0 -6 -1 ds l'alignement de -1 (-2-k) - 1

[casidomo]

le calcul peut être plus habile en "gérant" mieux" les signes moins

[Denis CAMUS]

je n'arrive pas à remettre les lignes -1 0 0 et 0 -6 -1 ds l'alignement de -1 (-2-k) - 1

[casidomo]

bonne idée, merci

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa-1aaaa0aaaa0

det(A - kI) =(k + 3 )(2 + k )aaa-1aaa-2-kaaa-1

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa0aaaa-6aaa-1

[casidomo]

Il y a d'autres solution en combinant les lignes par exemple. La vraie difficulté, c'est de trouver la démarche la plus performante.