Exercice Sur La Récurrence

[iceman59300]

Bonjour à tous,

voila j'ai un ptit souci concernant un exercice sur la récurrence. Voici l'énoncé:

1) Dmontrer par récurrence que quel que soit le naturel n supérieur à 1, pour tout réel x:

n-1

x^n - 1 = (x-1) x^p

p=0

2) En déduire en remplaçant x par a/b une factorisation de a^n - b^n où a et b sont des réels quelconques.

Merci d'avance

[iceman59300]

Oups, erreur de frappe, dans l'expression du 1) le n-1 et p=0 concerne le (la somme quoi ) :

n-1

p=0

[casidomo]

vérifier la propriété P pour n=2

hypothèse de récurrence vraie au rang n

Démontrer P au rang n + 1

écrire x^(n+1) - 1 = x(x^n -1) + x - 1 = x[(x-1) x^p] + x - 1 avec p=0 à n-1 (à mettre en forme ds la rédaction)

= (x-1)[x x^p] + (x - 1) avec p = 0 à n-1

= (x-1) x^p + (x - 1) avec p = 1 à n

=(x-1) [ x^p +1] avec p = 1 à n

=(x-1) x^p avec p=0 à n

[iceman59300]

vérifier la propriété P pour n=2 pourquoi n=2?

hypothèse de récurrence vraie au rang n

=initialisation?

Démontrer P au rang n + 1

écrire x^(n+1) - 1 = x(x^n -1) + x - 1 = x[(x-1) x^p] + x - 1 avec p=0 à n-1 (à mettre en forme ds la rédaction)

= (x-1)[x x^p] + (x - 1) avec p = 0 à n-1

= (x-1) x^p + (x - 1) avec p = 1 à n

=(x-1) [ x^p +1] avec p = 1 à n

=(x-1) x^p avec p=0 à n

=hérédité?

[casidomo]

a^n - b^n = (a - b ) a^p. b^(n- p) avec p = 0 à n-1

[casidomo]

a^n - b^n = b^n (a^n /b^n - 1) = b^n [(a/b)^n - 1) = b^n [(a/b - 1 ) (a/b)^p] = b(a/b - 1 ) b^(n-1) (a/b)^p

= (a - b ) a^p. b^(n- p-1) en notant que b^(n-1)/b^p=b^(n-p-1)

avec p = 0 à n-1 (et b non nul)

[casidomo]

attention erreur sur l'exposant de b

[iceman59300]

Merci beaucoup, c'est pas évident quand même ...

[casidomo]

aⁿ - bⁿ = bⁿ (aⁿ /bⁿ - 1) = bⁿ [(a/b)ⁿ - 1] = bⁿ [(a/b - 1 ) (a/b)^p] = b(a/b - 1 ) b^(n-1) (a/b)^p

= (a - b ) a^p. b^{(n- p-1)} en notant que b^(n-1)/b^p=b^(n-p-1)

avec p = 0 à n-1 (et b non nul)

C'est plus beau avec les exposants que je viens de découvrir !!! (lol)