Racines N-Ièmes De L'unité

[edde]

salut à tous, je bloque sur des débuts de questions qui m'empeche de faire la suite merci de votre aide

def : soit n un entier supérieur ou égal à 2

on appelle racine n^ième de l'unité tout nombre complexe z solution de l'équation : z^n = 1

1) recherche des nombres complexes z tels que z^3 = 1

a) démontrer que les solutions sont des complexes de module 1

b) démontrer que l'écriture exponentielle des solutions est e ^ ik(2pi)/3 , k étant un entier relatif

c) démontrer que les entiers k1 et k2 définissent la même solution si et seulement k1-k2 est un multiple de 3

d) en déduire le nombre de solutions de l'équation : z^3 = 1

e) donner les écritures algébriques des racines cubiques de l'unité

merci

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir edde,

1)a)

z^3 = 1

|z^3| = |1| = 1

|z|^3 = 1

(|z|^3)^(1/3) = 1^(1/3)

|z| = 1. CQFD

b)

exp(i2kpi/3)^3 = exp(i2kpi) = cos(2kpi) + isin(2kpi) = 1 + i*0 = 1. CQFD

c)

Supposons que k2-k1 soit un multiple de 3.

k2 = 3q + k1.

exp(i2k2pi/3) = exp(i2(3q+k1)pi/3) = exp(i2qpi)*exp(i2k1pi/3) = exp(i2k2pi/3)

Donc si k2 = 3q + k1 alors les racines sont confondues.

La réciproque.

Soit k1 et k2, deux racines confondues. Donc :

exp(i2k1pi/3) = exp(i2k2pi/3)

exp(i2pi(k1-k2)/3) = 1

Pour cette expression soit vrai, il faut qu'il existe q dans Z tel que :

2pi(k1-k2)/3 = 2qpi => (k1-k2)/3 = q => k1 = 3q+k2.

CQFD.

d)

D'après d) les solutions sont 3-périodiques. Donc, on a au plus 3 racines. En les calculant, on peut s'apercevoir qu'elles sont distinctes.

e)

Les solutions sont :

1

exp(i2pi/3) = j

exp(i4pi/3) = j^2.

L'ensemble des solutions sont (1,j,j^2).

Voilou.

[edde]

Bonsoir edde,

1)a)

z^3 = 1

|z^3| = |1| = 1

|z|^3 = 1

(|z|^3)^(1/3) = 1^(1/3)

|z| = 1. CQFD

b)

exp(i2kpi/3)^3 = exp(i2kpi) = cos(2kpi) + isin(2kpi) = 1 + i*0 = 1. CQFD

c)

Supposons que k2-k1 soit un multiple de 3.

k2 = 3q + k1.

exp(i2k2pi/3) = exp(i2(3q+k1)pi/3) = exp(i2qpi)*exp(i2k1pi/3) = exp(i2k2pi/3)

Donc si k2 = 3q + k1 alors les racines sont confondues.

La réciproque.

Soit k1 et k2, deux racines confondues. Donc :

exp(i2k1pi/3) = exp(i2k2pi/3)

exp(i2pi(k1-k2)/3) = 1

Pour cette expression soit vrai, il faut qu'il existe q dans Z tel que :

2pi(k1-k2)/3 = 2qpi => (k1-k2)/3 = q => k1 = 3q+k2.

CQFD.

d)

D'après d) les solutions sont 3-périodiques. Donc, on a au plus 3 racines. En les calculant, on peut s'apercevoir qu'elles sont distinctes.

e)

Les solutions sont :

1

exp(i2pi/3) = j

exp(i4pi/3) = j^2.

L'ensemble des solutions sont (1,j,j^2).

Voilou.

[Boltzmann_Solver]

Pas de quoi!