Courbe

marissa10 · le 29 novembre 2009

Bonjour à tous,

Je bloque sur un exercice et toute aide sera la bienvenue. Merci d'avance, le voici :

Dans le plan affine euclidien P rapporté à un repère orthonormé R = ( O, vecteur i, vecteur j ), on considère la courbe Γ d'équation polaire

ρ = cos ^3 ( θ/3 ), c'est à dire le support de l'arc paramétré M : R --> P défini par :

Pour tout θ appartenant à R, vecteur OM (θ) = cos ^3 (θ/3) vecteur u indice θ où vecteur u indice θ = cos θ vecteur i = sin θ vecteur j.

1) Comparer M (θ + 3 π ) et M ( θ). A quoi peut-on réduire l'intervalle d'étude ?

Comparer de même M ( -θ) et M (θ).

2) Dresser le tableau de variations de la fonction f : θ --> cos ^3 (θ/3) sur l'intervalle [ 0 ; 3π / 2].

3) Préciser l'allure de la courbe Γ autour du point de paramètre 3π / 2.

4) Tracer la courbe Γ . On fera figurer sur le graphique les tangentes aux points de paramètres 0, π / 2, π et 3 π / 2.

Boltzmann_Solver · le 29 novembre 2009

Je regarderai demain vu que je sais que tu poses tes exos à l'avance.

BS

Boltzmann_Solver · le 29 novembre 2009

Finalement, je vais prendre un peu de courage et le faire ce soir. Si tu vois des erreurs n'hésite pas!

1) rho(t+3pi) = cos((t+3pi)/3)^3 = cos(t/3 + pi)^3 = -cos(t/3) = -rho(t).

Donc, donc on a une antisymétrique. Donc, on a une antipériode de la courbe. Ce qui signifie que M(t+3pi) est déductible de M(t) par rotation. Ce qui a pour conséquence que l'on peut réduire l'intervalle sur un domaine de 3*pi.

De plus rho(-t) = rho(t). Donc, on a un axe de symétrie sur l'axe des abscisses. En conclusion, on peut reduire le domaine précédent de moitié.

Au final, on ramène le domaine I sur [0,3*pi/2[.

2) rho'(t) = -3*1/3*sin(t/3)*cos²(t/3). Le signe de rho' est donnée sur I par -sin(t/3) car le cos ne s'annule pas. Donc, -sin(t/3) => 0 => t/3 app à [-pi,0] mod 2kpi => t app à [-3*pi,0] mod 6kpi => t app à [3pi,6pi]. Donc, -sin(t/3) <=0 sur I.

3) On a un point anguleux (Ma démo pour le moment ne me plaît pas... et je ne suis pas sur qu'une démo soit necéssaire.)

4) La courbe demain.

BS

4)

Boltzmann_Solver · le 30 novembre 2009

Je reprends plus sérieusement.

1) rho est continue et infiniment dérivable sur R. Donc, pas de soucis de ce point de vue.

rho(t+3pi) = cos((t+3pi)/3)^3 = cos(t/3 + pi)^3 = -cos(t/3) = -rho(t).

Donc, donc on a une antisymétrique. Donc, on a une antipériode de la courbe. Ce qui signifie que M(t+3pi) est déductible de M(t) par rotation. Ce qui a pour conséquence que l'on peut réduire l'intervalle sur un domaine de 3*pi.

De plus rho(-t) = rho(t). Donc, on a un axe de symétrie sur l'axe des abscisses. En conclusion, on peut reduire le domaine précédent de moitié.

Au final, on ramène le domaine I sur [0,3*pi/2[.

2) rho'(t) = -3*1/3*sin(t/3)*cos²(t/3). Le signe de rho' est donnée sur I par -sin(t/3) car le cos ne s'annule pas. Donc, -sin(t/3) => 0 => t/3 app à [-pi,0] mod 2kpi => t app à [-3*pi,0] mod 6kpi => t app à [3pi,6pi]. Donc, -sin(t/3) <=0 sur I.

Donc f'(x) <=0 sur I. De plus OM(0) = 1.vect(Utheta) et OM(3pi/2) = 0. Donc, la norme de OM décroit de 1 à 0 par continuité

3) On semble y avoir un point anguleux mais c'est faux. En effet, en 3pi/2, M n'est pas régulier (==> M(0,0)) Donc sa tangente est portée par U(théta). Or il a un angle de 3*pi/3. Donc son symétrique en -3pi/2 aura aussi une pente de 3pi/2. Donc, on a continuité des pentes en 3pi/2. Donc, la tangente en 3pi/2 vaut x = 0.

4) /applications/core/interface/file/attachment.php?id=5203">test.ps

Tu sais que vect(OM) = rho*vect(U_théta). Donc, la

4)

Si tu as vu les dérivées de vecteur, tu sais que si tu dérives un vecteur non nul par sa variable, tu obtiens un vecteur normal ) OM. Donc, sa tangente.

Donc dvect(OM)/dthéta = rho'(theta)*vect(U_théta) + rho(theta)*vect(U_v)

Ou vect(U_v) est un vecteur normal unitaire direct à vect(U_théta).

j'aimerais que tu essayes de déterminer la tangente en 0. Sachant que le graph montre clairement que c'est x=1.

A toi de jouer!!

BS

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=5203">test.ps

test.ps

marissa10 · le 1 décembre 2009

J'ai une question dès le 1) :

cos(t/3 + pi)^3 = -cos(t/3) pour le pi OK mais pour le t/3 où est passé la puissance 3 ?

Boltzmann_Solver · le 1 décembre 2009

J'ai une question dès le 1) :

cos(t/3 + pi)^3 = -cos(t/3) pour le pi OK mais pour le t/3 où est passé la puissance 3 ?

Boltzmann_Solver · le 2 décembre 2009

Pour la courbe, j'ai eu des MP comme quoi, elle n'était ps lisible. Voici, une conversion en pdf.

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=5215">test.pdf

test.pdf

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