Aide Devoir

[Allezlelosc_59]

Bonjour,

Je viens solliciter votre aide pour un devoir de Mathématiques sur les exponentielles. Certaines parties me bloquent pour continuer et/ou d'autres me bloquent tout simplement.

Soit f la fonction.

R -> R

x --> f(x) = x exp (2x / (x² - 1) )

1) Préciser le domaine de définition > L'ensemble des réels étant donné que l'exponentiel peut être égal à zéro.

Montrer que quelque soit x différent de zéro f(x) * f(1/x) = 1 > pas de soucis

2) En déduire une relation entre f'(x) et f'(1/x) > ( f(x) * f(1/x) )' = 0

Montrer que si alpha est un zéro de f'(x), 1/alpha l'est également. Comment effectuer ? Remplacer x par alpha ?

3) Montrer que f'(x) = 1/(x²-1)² exp (2x / (x²-1) ) * g(x) avec g(x) polynôme à déterminer.

> f'(x) = 1 * exp (2x / (x²-1) ) + e (2x / (x²-1) ) * (2x² - 2 - 4x²)/ (x²-1)² * x ----> Comment arriver au résultat voulu ??

4) Soit h(x) = f(x) si x appartient à D et h(-1) = h(1) = 0

Montrer que h est continue à gauche de 1 et de -1. > Il faut calculer la limite quand x tend vers 1 et -1 de h(x) et trouver h(-1) en résultat ???

Il y a encore des choses par la suite mais je pense pouvoir m'en sortir, le début étant plus difficile pour lancer la chose.

Un grand merci d'avance pour votre aide et une très bonne après-midi à tous !

[casidomo]

x²-1 s'annule pour les valeurs -1 et 1 d'où D= R - {-1 ; 1 }

[Allezlelosc_59]

Le fait que x² -1 s'annule reste important ?

Car en -1 et 1, cela fait exp (0) ce qui fait 1, donc cela peut aller, non ?

Pourquoi ne serait-ce définit en -1 et 1 ?

Merci

[casidomo]

2x/(x²-1) n'est pas défini pour les valeurs qui annulent le dénominateur.

La fn f est le produit de 2 fn, dont l'une est la composée d'une fn rationnelle et de l'exponentielle.

x ------------- y= 2x/(1-x²) ---------------- z = exp(y)

[Allezlelosc_59]

Oki merci de m'avoir rectifié pour ce début

[casidomo]

attention, ici, ne pas confondre f'(1/x) et (f(1/x))'

f'(1/x) = x² f'(x) / f²(x)

si f'(a) = 0 alors f'(1/a) = 0 (remplacer x par a effectivement ds la relation précédente)

[casidomo]

3) dérivée fausse.

utiliser le théorème sur les fn composées. [f(g)]' = g' x f'(g)

[Allezlelosc_59]

Pour la dérivée, je fais le produit puis à l'intérieur la dérivée

f'(x) = U'V + V'U

U'V = 1 * e (2x / (x² -1))

V'U = e (2x / (x²-1) ) * (2x² -2 - 4x²)/(x²+1)² * x

Avec pour V'U la formule de la division.

Ce n'est donc pas la bonne application ?

[casidomo]

3) dérivée fausse.

utiliser le théorème sur les fn composées. [f(g)]' = g' x f'(g)

je note u(x) = 2x / (x² - 1) pour simplifier les écritures mais à restaurer ds le devoir.

f'(x) = exp u(x) + x u'(x) exp u(x) = (1 + x u'(x)] exp u(x)

u' (x) = 2 [(x²-1) - x (2x)] / (x² - 1)² = - 2 (x² + 1) / (x² -1)²

f'(x) = [(x² - 1 )² - 2x (x² + 1)]/ (x² - 1) ² exp u(x)

développer le crochet pour obtenir g

[casidomo]

ds la question 4, les valeurs -1 et 1 doivent vous interpeler qd à la fn f. D'où l'intérêt de lire la totalité de l'exercice afin de rectifier les erreurs. La fn h est le prologement de f aux 2 pts où f n'est pas définie.

Il faut calculer la limite de f à gauche et à droite de 1 et de -1 effectivement.

[Allezlelosc_59]

Ok un grand merci, je vais peaufiner ça

[casidomo]

bonne soirée et bon courage