Simplification

[lucile123]

Pouvez-vous me corriger svp...

Arctan(|tan(x/2)|),pour simplifier…

Arctan(tan(x/2)) = x/2 si x/2 appartient à ]-pi/2;pi/2[.

Sur ]pi/2;3pi/2[, on a Arctan(|tan(x/2)|) = x/2 - pi

tan est pi-périodique et impaire.

est ce que c'est juste?

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir lucille123,

Si ta question est de démontrer la périodicité de tan. Je ne vois pas pourquoi tu nous sors arctan??

Pour tout x de R\{pi/2+kpi ou k\inZ}, tan(x+pi) = sin(x+pi)/cos(x+pi) = -sin(x)/(-cos(x)) = tan(x).

De plus, pour tout x de R\{pi/2+kpi ou k\inZ}, tan(-x) = sin(-x)/cos(-x) = -sin(x)/cos(x) = -tan(x).

Donc, tan est impaire et pi-périodique.

Sinon, précise la question posée.

Cordialement.

BS

[lucile123]

Bonsoir, désolé je n'ai peut être pas été clair , il faut que je simplifie : Arctan(tan(x/2))

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir, désolé je n'ai peut être pas été clair , il faut que je simplifie : Arctan(tan(x/2))

[Boltzmann_Solver]

Je te corrige sans les valeurs absolues. S'il y en a, dis le moi!!

Pour tout x de R\{pi/2+kpi ou k\inZ}, tan(x+pi) = sin(x+pi)/cos(x+pi) = -sin(x)/(-cos(x)) = tan(x).

De plus, pour tout x de R\{pi/2+kpi ou k\inZ}, tan(-x) = sin(-x)/cos(-x) = -sin(x)/cos(x) = -tan(x).

Donc, tan est impaire et pi-périodique. Donc réduisons nous à un intervalle de tan qui soit de longueur pi

Sur ]-pi/2,pi/2[, tan(x) est bijective est continue, donc on peut poser sa fonction réciproque atan(x) de telle manière que atan(tan(x)) = x.

Or, ta fonction est atan(tan(x/2)). D'après l'étude précédente, tan(x/2) est bijective et continue sur ]-pi,pi[

Donc, sur ce même intervalle, on peut affirmer que atan(tan(x/2)) = x/2.

De plus, on a montré que tan(x) est pi-périodique donc tan(x/2) est 2pi-périodique. Donc posons x' = x+2k*pi avec x sur ]-pi,pi[. Donc, x' app à ]-pi+2k*pi,pi+2k*pi[. Sur cet intervalle, tan est toujours bijective et continue par périodicité. Donc, on peut écrire que : tan(x/2+k*pi) = tan(x/2) et on peut appliquer la fonction réciproque. Or, on a définie que atan(tan(x)) = x. Donc, pour tout k de Z, atan(tan(x'/2)) = x/2. Et on sait que x'=x+2k*pi. Donc :

Pour tout k de Z, atan(tan(x'/2)) = (x'-2k*pi)/2 = x'/2-kpi.

En conclusion, sur ]-pi+2k*pi,pi+2k*pi[, atan(tan(x/2)) = x/2-k*pi.

Tu arrives à la bonne réponse mais tout ce que tu as écris comme raisonnement est faux et surtout incomplet. J'espère que ma correction pourra t'aider un peu.

[Boltzmann_Solver]

Je viens d'aller voir l'ile de maths en pariant que j'allais trouver le même sujet... Et il y a la valeur absolue.

Tu refais la démarche d'en haut et tu trouves.

Sur ]2k*pi,pi+2k*pi[ pour k in Z, atan(tan(x/2)) = x/2-k*pi (Même résultat car tan(x/2) > 0

Sur ]-pi+2k*pi,0+2k*pi[ pour k in Z, atan(tan(x/2)) = -x/2+k*pi (Car tan(x/2)<0 et que atan est impair)

A toi de bosser si tu veux finir ton DM...

@+

BS

[Boltzmann_Solver]

Je viens d'aller voir l'ile de maths en pariant que j'allais trouver le même sujet... Et il y a la valeur absolue.

Tu refais la démarche d'en haut et tu trouves.

Sur ]2k*pi,pi+2k*pi[ pour k in Z, atan(tan(x/2)) = x/2-k*pi (Même résultat car tan(x/2) > 0

Sur ]-pi+2k*pi,0+2k*pi[ pour k in Z, atan(tan(x/2)) = -x/2+k*pi (Car tan(x/2)<0 et que atan est impair)

A toi de bosser si tu veux finir ton DM...

@+

BS