Cinétique Chimique

[marissa10]

Bonsoir à tous,

J'ai un exo de chimie qui me pose des problèmes. Le voici avec aussi ce que j'ai réussi à faire.

On considère un processus chimique, en phase liquide, dans un réacteur fermé à volume constant et mettant en oeuvre deux réactions consécutives :

A --k1--> B --k2--> C

Chaque réaction est d'ordre 1, k1 et k2 étant les constantes respectives de vitesse avec k2 > k1.

A l'instant origine, la concentration en A est a0, celles de B et C étant nulles.

1)a) Soient a, b et c les concentrations respectives de ces composés à l'instant t. Ecrire le système d'équations différentielles reliant les vitesses da/dt, db/dt et dc/dt et les concentrations a, b, c.

b) Donner l'expression a = a(t)

c) L'équation différentielle db/dt = f(t) conduit par intégration à :

b = (k1a0) / (k2-k1) * [ exp (-k1t) - exp (-k2t)]

Justifier physiquement que b passe par un maximum, puis déterminer par le calcul l'instant t1 correspondant à ce maximum.

Indiquer et justifier l'allure de la courbe b = b(t).

d) Etablir la relation reliant a, b, c et a0 et en déduire l'axpression c = c(t).

Indiquer et justifier l'allure de la courbe c = c(t).

2) Application

L'ion borohydrure BH4- s'hydrolyse dans le solvant eau selon la réaction :

BH4- + 2 H2O --k1--> X --k2--> BO2- + 4H2

Les réactions 1 et 2 sont du premier ordre, respectivement par rapport à BH4- et X avec :

k1 = 0.02 min-1

k2 = 1.92 min-1

La concentration initiale en BH4- est de 1.50 . 10^-3 mol.l-1.

a) Au bout de combien de temps, la concentration de X passe par un maximum ?

b) Calculer à cet instant les concentrations en BH4-, X et BO2-.

Alors, voilà ce que j'ai déjà fait en espérant que c'est juste :

1)a) da/dt = -k1a

db/dt = -k2b + k1a

dc/dt = k2b

b) da/dt + k1a = 0

a(t) = C1 exp (-k1t) avec C1 = a0

c) db/dt + k2b - k1 a0 exp (-k1t) = 0

d) dc/dt = k2b

dc/dt = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (exp (-k1t) - exp (-k2t))

On obtient en intégrant en fonction de t :

c = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (k2 exp (-k2t) - k1 exp (-k1t))

Voilà c'est tout après je bloque.

Merci d'avance pour votre aide.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir marissa, J'espère que ça marche toujours ! Sinon, pour en revenir à ton exo, il y a quelques fautes/oublies dans ce que tu as fait. 1) Les résultasts sont ok. Mais un peu de phrase ne fait pas de mal :p. Par exemple, il faut justifier l'ED de b par un bilan des créactions destructions de b. 2) Toujours juste mais des phrases (stp!! de grâce!) (Sans sortir un truc du genre. Soit b une application de R^+ dans R^+...) Mais du genre, b est une grandeur physique continue, donc on peut intégrer. 3) l'ED n'est pas très dur, il aurait pu vous la faire calculer (ils sont gentils chez vous :p). Sinon, elle est ou ta justification?? J'aimerais que tu essayes de me pondre quelque chose (Essaye d'imaginer la scène) 4) Tu t'es trompée en intégrant. Je te rapelle que int(exp(ax),x) = 1/a*exp(ax) pour a != 0. En plus, il y un k2 en plus dont je n'arrive pas à déterminer l'origine. Déjà, tu as deux trois trucs à revoir.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir marissa,

J'espère que ça marche toujours ! Sinon, pour en revenir à ton exo, il y a quelques fautes/oublies dans ce que tu as fait.

a) Les résultats sont ok. Mais un peu de phrase ne fait pas de mal :p. Par exemple, il faut justifier l'ED de b par un bilan des créations destructions de b.

b) Toujours juste mais des phrases (stp!! de grâce!) (Sans sortir un truc du genre. Soit b une application de R^+ dans R^+...) Mais du genre, b est une grandeur physique continue, donc on peut intégrer.

c) l'ED n'est pas très dur, il aurait pu vous la faire calculer (ils sont gentils chez vous :p). Sinon, elle est ou ta justification?? J'aimerais que tu essayes de me pondre quelque chose (Essaye d'imaginer la scène)

d) Tu t'es trompée en intégrant. Je te rappelle que int(exp(ax),x) = 1/a*exp(ax) pour a != 0. En plus, il y un k2 en plus dont je n'arrive pas à déterminer l'origine.

Déjà, tu as deux trois trucs à revoir.

[marissa10]

Bonsoir BS,

Merci de me corriger, je suis vraiment déçue je croyais m'en être à peu près bien sortie.

La cinétique chimique c'est pas vraiment mon truc, ça me parait très dur par rapport aux cours que l'on a eu.

Faire des phrases, je veux bien mais c'est pas évident parce que j'avoue que j'ai un peu mis des trucs qui me venaient sans vraiment comprendre en profondeur.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir BS,

Merci de me corriger, je suis vraiment déçue je croyais m'en être à peu près bien sortie.

La cinétique chimique c'est pas vraiment mon truc, ça me parait très dur par rapport aux cours que l'on a eu.

Faire des phrases, je veux bien mais c'est pas évident parce que j'avoue que j'ai un peu mis des trucs qui me venaient sans vraiment comprendre en profondeur.

[marissa10]

Pour a) : je ne vois pas ce que tu veux dire par bilan des créations destructions

b) des phrases... oui, mais quoi ?

c) cette question je n'ai pas tout fait, j'ai juste posé db/dt en me servant des questions précédentes

d) Ca serait :

c = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (1/k2 * exp (-k2t) - 1/k1 * exp (-k1t)) ?

[Boltzmann_Solver]

Bon, je vais te donner ma correction sur la question. Mais n'hésite pas à dévelloper ton esprit critique. Je suis aussi soumis à la possibilité de commettre des erreurs.

1)a)

Par définition des réactions d'ordre 1

da/dt = -k1a

dc/dt = k2b

Pour b, il est crée par la réaction 1 et détruite/consommé par la réaction 2. Donc db/dt)1 = k1*a et -db/dt)2 = k2*b

En effectuant un bilan, on peut dire que db/dt = db/dt)1 + db/dt)2 = k1*a-k2*b (On retrouve la même chose mais en expliquant pourquoi, c'est comme ça)

b) a est une grandeur physique macroscopique. Donc, elle est de classe C infini de R^+ dans R^+ (si tu ne connais pas les classes, tu mets qu'elle est infiniment dérivable de R+ dans R+). Donc, il existe une unique solution sur son Df.

da/dt + k1a = 0

a(t) = C1 exp (-k1t) avec C1 = a0

c) db/dt + k2b - k1 a0 exp (-k1t) = 0 (Ne répond pas à la question car on te dit physiquement)

Donc, à t=0, on a un maximum de A qui sera consommé. Or, la réaction étant d'ordre 1, la vitesse est proportionnelle à la concentration. La réaction n'étant pas réversible, la concentration en A ne peut que décroitre. En conséquence, dans le temps, on produirr

d) dc/dt = k2b

dc/dt = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (exp (-k1t) - exp (-k2t))

On obtient en intégrant en fonction de t :

c = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (k2 exp (-k2t) - k1 exp (-k1t))

[Boltzmann_Solver]

Bon, je vais te donner ma correction sur la question. Mais n'hésite pas à dévelloper ton esprit critique. Je suis aussi soumis à la possibilité de commettre des erreurs.

1)a)

Par définition des réactions d'ordre 1

da/dt = -k1a

dc/dt = k2b

Pour b, il est crée par la réaction 1 et détruite/consommé par la réaction 2. Donc db/dt)1 = k1*a et -db/dt)2 = k2*b

En effectuant un bilan, on peut dire que db/dt = db/dt)1 + db/dt)2 = k1*a-k2*b (On retrouve la même chose mais en expliquant pourquoi, c'est comme ça)

b) a est une grandeur physique macroscopique. Donc, elle est de classe C infini de R^+ dans R^+ (si tu ne connais pas les classes, tu mets qu'elle est infiniment dérivable de R+ dans R+). Donc, il existe une unique solution sur son Df.

da/dt + k1a = 0

a(t) = C1 exp (-k1t) avec C1 = a0

c) db/dt + k2b - k1 a0 exp (-k1t) = 0 (Ne répond pas à la question car on te dit physiquement)

Donc, à t=0, on a un maximum de A qui sera consommé et des vitesses nulles pour b et c car les quantités initiales sont nulles. Or, la réaction étant d'ordre 1, la vitesse est proportionnelle à la concentration. La réaction n'étant pas réversible, la concentration en A ne peut que décroitre. En conséquence, dans le temps, on produira de moins de moins de B. Dans le même temps, la première réaction produit de plus en plus de B (d'un point de vue cummulatif), ce qui conduit à une augmentation de la vitesse de consommation de b par la deuxième réaction car la réaction 2 est elle aussi d'ordre 1.

Pour résumer, tu as une diminution de la production de b par 1 et une augmentation de la consommation de b par 2. Donc, par continuité, il y aura forcement un moment ou il sera crée autant de b par 1 qui en sera consommé par 2. A ce moment, b aura atteint son maximum. Après ce maximum, on aura un chute de a et b dont les quantités relatives seront définies par les constantes de vitesse.

d) dc/dt = k2b

dc/dt = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (exp (-k1t) - exp (-k2t))

On obtient en intégrant en fonction de t :

c = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (k2 exp (-k2t) - k1 exp (-k1t))

Exactement. Viva Mathématica!

[marissa10]

Bonsoir BS,

J'ai compris tes explications pour les a), b) et c), mais au c) justement on ne répond qu'au début de la question non ?

Car il est aussi demandé de déterminer par le calcul l'instant t correspondant à ce maximum.

Pou le d) tu retombes finalement à ce que j'avais mis au début et où tu m'avais dit qu'il y avait des erreurs.

[marissa10]

Pour le d), je pensais après recalcul à :

c = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (1/k2 * exp (-k2t) - 1/k1 * exp (-k1t))

Et pour le 2) je ne sais pas, je ne comprends pas.

[Boltzmann_Solver]

Pour le d), je pensais après recalcul à :

c = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (1/k2 * exp (-k2t) - 1/k1 * exp (-k1t))

Et pour le 2) je ne sais pas, je ne comprends pas.

[Boltzmann_Solver]

Enfin, pour le 2), c'est une pure application de 1). Essaye de me proposer quelque chose avant.

[marissa10]

Je vais essayer de suivre tes indications pour faire le 2), mais je ne garantie rien.

Pas ce soir, je vais dormir (trop fatiguée) et demain colle jusqu'à 20H et, comme le devoir est pour vendredi et qu'il est très long, ça va être recopiage de mes brouillons à fond.

Bon arrétons de se plaindre !

Merci pour ton aide et bonne nuit BS

[Boltzmann_Solver]

Je vais essayer de suivre tes indications pour faire le 2), mais je ne garantie rien.

Pas ce soir, je vais dormir (trop fatiguée) et demain colle jusqu'à 20H et, comme le devoir est pour vendredi et qu'il est très long, ça va être recopiage de mes brouillons à fond.

Bon arrétons de se plaindre !

Merci pour ton aide et bonne nuit BS

[Boltzmann_Solver]

Je fais un bilan des posts :

1)a)

Par définition des réactions d'ordre 1

da/dt = -k1a = -db/dt)1

dc/dt = k2b = -db/dt)2

Pour b, il est crée par la réaction 1 et détruite/consommé par la réaction 2 comme le montre les équations du dessus (et le sens physique au passage). Donc db/dt)1 = k1*a et -db/dt)2 = k2*b

En effectuant un bilan, on peut dire que db/dt = db/dt)1 + db/dt)2 = k1*a-k2*b (On retrouve la même chose mais en expliquant pourquoi, c'est comme ça)

b) a est une grandeur physique macroscopique. Donc, elle est de classe C infini de R^+ dans R^+ (si tu ne connais pas les classes, tu mets qu'elle est infiniment dérivable de R+ dans R+). Donc, il existe une unique solution sur son Df.

da/dt + k1a = 0

a(t) = C1 exp (-k1t) avec C1 = a0 par la condition à la limite suivante a(0) = a0

c) db/dt + k2b - k1 a0 exp (-k1t) = 0 (Ne répond pas à la question car on te dit physiquement)

Donc, à t=0, on a un maximum de A qui sera consommé et des vitesses nulles pour b et c car les quantités initiales sont nulles. Or, la réaction étant d'ordre 1, la vitesse est proportionnelle à la concentration. La réaction n'étant pas réversible, la concentration en A ne peut que décroitre. En conséquence, dans le temps, on produira de moins de moins de B. Dans le même temps, la première réaction produit de plus en plus de B (d'un point de vue cummulatif), ce qui conduit à une augmentation de la vitesse de consommation de b par la deuxième réaction car la réaction 2 est elle aussi d'ordre 1.

Pour résumer, tu as une diminution de la production de b par 1 et une augmentation de la consommation de b par 2. Donc, par continuité, il y aura forcement un moment où il sera crée autant de b par 1 qui en sera consommé par 2. A ce moment, b aura atteint son maximum. Après ce maximum, on aura un chute de a et b dont les quantités relatives seront définies par les constantes de vitesse.

Donc, on peut affirmer que db/dt(t1) = 0 a une unique solution qui est un maximum. Résolvons cette équation

Tu sais que b(t) = (k1a0) / (k2-k1) * [ exp (-k1t) - exp (-k2t)]

db/dt(t1) = 0 => k1*exp(-k1*t1)=k2*exp(-k2*t1) => k1/k2 = exp(-t1*(k2-k1)) => t1=-ln(k1/k2)/(k2-k1) = ln(k2/k1)/(k2-k1)

d) D'après a) dc/dt = k2*b = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (exp (-k1t) - exp (-k2t))

Donc, par intégration, on obtient : c = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (1/k2 * exp (-k2t) - 1/k1 * exp (-k1t)) + Cste. (Et c(0) = 0, donc, Cste = a0)

En définitif, c(t) = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (1/k2 * exp (-k2t) - 1/k1 * exp (-k1t)) + a0

Désolé, je suis allé trop vite et je t'ai mal corrigé pour le d).

2) On arrive à l'application de 1 sur un exemple concret. a = [bH4+], b=[X] et pour c, on prendre BO2 comme référence car son nombre stœchiométrique vaut 1.

a) D'après c), on peut dire que [X] passe par un maximum au temps t2 = ln(k2/k1)/(k2-k1) = ln(1.92/0.02)/(1.92-0.02) = 2.40 mn.

b)

D'après b) [bH4-] = a(t) = a0*exp(-k1*t) = 1.5*10^(-3)*exp(-0.02*t). Donc, en t=t2, a(t2) = 1.5*10^(-3)*exp(-0.02*2.40) = 1.43*10^(-3) mol/L

D'après c) [X] = b(t) = (k1a0) / (k2-k1) * [ exp (-k1t) - exp (-k2t)] = 0.02*1.5*10^(-3)/(1.92-0.02)*(exp(-0.02*2.40)-exp(-1.92*2.40)) = 1.49*10^(-5) mol/L

D'après d) [bO2] = c(t) = k2 * ((k1a0) / (k2-k1)) * (1/k2 * exp (-k2t) - 1/k1 * exp (-k1t)) + a0 = 1.92*0.02*1.5*10^(-3)/1.9*(e^(-1.92*2.40)/1.92-e^(-0.02*2..40)/0.02) + 1.5*10^(-3) = 5.5*10^(-5) mol/L

Pour vérifier.

(1.43 + 0.055 +0.015)*10^(-3) = 1.5*10^(-3) . Donc, on retrouve bien l'axiome de la chimie énoncé par Lavoisier. Rien ne se perd, rien ne se crée, tous se transforme.

J'espère que rien n'est passé à travers le filet.