Fonctions Polynômes

[Mimie]

Problème : Existe t-il des entiers naturels n tels que le nombre n^4 -31n²+9 soit premier ?

1° ESSAIS :

a) Calculer n^4 -31n²+9 pour tous les entiers naturels n compris entre 1 et 15.

B) A partir de quel entier naturel semble t-il que n^4 -31n²+9 soit un entier naturel ?

c° Vérifier que lorsque 6<ou égal à n < ou égal à 15, n^4 -31n²+9 n'est pas un nombre premier.

2° DEMONSTRATIONS :

a) Vérifier que pour tou réel x : x^4-31x²+9 = (x²-3)²-25x²

B) En déduire deux polynômes P et Q, tel que pour tout réel x, x^4-31x²+9 = P(x)*Q(x)

c) Résoudre l'équation P(x)=1, puis l'équation Q(x)=1 et vérifier que ces équations n'admettent pas d'entiers naturels solutions.

d) Conclure

J'ai réussi à faire cet exercice mais je me suis arrêté à partir de 2°B) car je n'y arrive pas. Je pense que P(x) = (x²-3)+5x et Q(x) = (x²-3)-5x mais je n'en suis pas sur.

Ensuite, pour le c) je ne sais pas comment on fait pour résoudre les équations.

Pour d) je ne peux pas conclure car je n'ai pas trouvé les réponses des questions précedentes.

Merci d'avance pour votre aide.

[philippe]

eh bien oui!

p(x)=1 équivaut à (selon ce que tu as posé) (x²-3)+5x=1

cad x²+5x-4=0

(2nd dégré...)

idem pour la suivante

[Mimie]

Merci pour votre réponse mais comment faites-vous pour résoudre

x²+5x-4=0

De plus, comment pourrais-je conclure car je n'est jamais fais ça.

Merci de votre réponse.

[philippe]

en quelle classe es tu?

[Mimie]

Je m'excuse car c'était une erreur d'étourderie, j'ai calculer

x²+5x-4=0 et j'ai trouvé que l'équation admet deux solutions réelles distinctes qui sont :

S:{(-5-racine de 41)/2 ; (-5+racine de 41)/2)

Mais le problème est que la question suivante me bloque. En effet, c'est :

Vérifier que ces équations P(x)=1 et Q(x)=1 n'admettent pas d'entiers naturels solutions.

Merci d'avance.

[philippe]

p(x)=1 équivaut à x²+5x-4=0

or tu as montré qu'il n'y avait pas de x entiers vérifiant ceci.

(les racines sont réelles et non entières)

par csq, p(x)=1 n'est pas possible dans N.

idem pour q(x).

donc, x^4-31x²+9 = P(x)*Q(x) est toujours composé.

[Mimie]

Merci beaucoup pour votre réponse, maintenant, il me demande de conclure mais je ne vois à quoi me servent ces démarches. Cela ne répond toujours pas à la problématique donnée !

[philippe]

c'est exactement ce que j'ai fait dans le post précédent!

je répète:

le nombre n^4-31n²+9 se factorise comme

n^4-31n²+9 = P(n)*Q(n)

si P(n)=1 par exemple alors n^4-31n²+9=Q(n)

Q(n) n'étant pas factorisable davantage dans N, c'est donc un nb 1er!

OR tu as montré que ni P(n) ni Q(n) peuvent valoir 1

donc (je répète) : n^4-31n²+9 est un nombre composé, donc non premier.

Tu saisis?