Exercice Non Compris

[rapsa]

On considère l'équation (E): z^3 - (4+i)z²+ (7+i)z - 4=0 où z désigne un nombre complexe.

Partie A:

1.a) Montrer que (E) admet une solution réelle, notée z1.

1.b) Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que pour tout nombre complexe z on ait: z^3 - (4+i)z² + (7+i)z -4= (z-z1)(z-2-2i)(az+b)

2) Résoudre (E)

Partie B:

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct (O, u,v), on considère les trois points A, B et C d'affixes respectives 1, 2+2i et 1-i

1) Représenter A B et C

2) Déterminer le module et un argument de (2+2i)/(1-i). En déduire la nature du triangle OBC.

3) Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC? Justifiez vote affirmation.

4) Soit D l'image de O par la rotation d'angle -pi/2 et de cente C.

Déterminer l'affixe de D.

5) Quelle est la nature de OCDB?

Je bloque à la 1ère question c'est-à-dire la 1.a).

Merci d'avance...

[elp]

On pose E(z)=z^3 - (4+i)z²+ (7+i)z - 4

Si z est réel, la partie réelle de E(z) est z^3-4z²+7z-4 et sa partie imaginaire est -z²+z

on a dc si E(z)=0 à la fois:

z^3-4z²+7z-4=0 et -z²+z=0

-z²+z=0 a 2 solutions z=0 et z=1

0 n'est pas solution de z^3-4z²+7z-4=0 mais 1 l'est.

Ds E(z) on peut donc mettre (z-1) en facteur

z^3 - (4+i)z²+ (7+i)z - 4=(z-1)(z²+az+4)

z^3+az²+4z-z²-az-4=z^3+z²(a-1)+z(4-a)-4

on identifie:

a-1=-4-i et 4-a=7+i

on trouve a=-3-i

z^3 - (4+i)z²+ (7+i)z - 4=(z-1)(z²+(-3-i)z+4)=(z-1)(z-2-2i)(z+b) d'après l'énoncé.

(z-2-2i)(z+b)=z²+zb-2z-2b-2iz-2ib=z²+z(b-2-2i)-2b-2ib

par identification:

b-2-2i=-3-i dc b=-3-i+2+2i=i-1

-2b-2bi=-2i+2-2(i-1)i=-2i+2-2i²+2i=4 dc OK

E(z)=(z-1)(z-2-2i)(z-1+i)

un produit est nul ssi ....

z=1

z=2+2i

z=1-i

[rapsa]

pourquoi 1 est solution de l'équation comment l'avez vous trouvez?

je ne comprends pas car on a pas prouvé que c'est un réel la solution

pouvez vous m'expliquer svp

merci

[elp]

un complexe est 0 ssi partie réelle et partie imaginaire nulles toutes les deux.

dc z^3-4z²+7z-4=0 et -z²+z=0

J'ai résolu -z²+z=0

il y a 2 solutions 0 et 1

Si on remplace z par 0 ds z^3 - (4+i)z²+ (7+i)z - 4, on ne trouve pas 0 dc z=0 n'est pas une solution

Si on remplace z par 1 ds z^3 - (4+i)z²+ (7+i)z - 4

on trouve : 1-(4+i)+(7+i)-4=1-4-i+7+i-4=8-8+i-i=0

1 (qui est bien un réel) est dc solution de l'équation proposée.

[rapsa]

d'accord mais comment savez vous que c'est 1 (dans cette équation ok )mais quelle opération vous faites pour trouver"la solution"

merci

[elp]

d'accord mais comment savez vous que c'est 1 (dans cette équation ok )mais quelle opération vous faites pour trouver"la solution"

merci

[rapsa]

oui cela j'ai compris mais si j'ai une autre équations par exemple etr ça ne sannule ni en 0 ni en 1 je fais quoi? d'ou ma question précédente

[elp]

oui cela j'ai compris mais si j'ai une autre équations par exemple etr ça ne sannule ni en 0 ni en 1 je fais quoi? d'ou ma question précédente