Fonction

valbuenadu62 · le 25 avril 2009

slt a tous voila j'ai un enorme exo de math a faire auquel je n'y comprend rien du tout si vous pouvez m'aider sa serai vrément sympa. Voila l'enoncé:

Un laboratoire de recherche étudie l'evolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.

Partie A : En 2000, une étude est effectuée sur un echantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille. Cet echantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l'origine 2000).

D'aprés le modele d'evolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement positive sur [0;+ [, et satisfait l'equation differentielle : (E) y' = -(1/20)y*(3-lny).

1°) Démontrer l'equivalence suivante : Une fonction f, derivable, strictement positive sur [0;+ [, verifie, que pour tout t de [0;+ [,

f'(t) = -(1/20)f(t)*[3-ln(f(t))] si, et seulement si, la fonction g=ln(f) verifie, pour tout t de [0;+ [, g'(t) = (1/20)g(t)-(3/20).

2°) Donner la solution generale de l'equation differentielle: (H) z' = (1/20)z-(3/20).

3°) En deduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0;+ [ : f(t) = exp(3+Cexp^(t/20)).

4°) La condition initiale conduit donc à considerer la fonction f definie par : f(t) = exp(3-3exp^(t/20)).

a°) Determiner la limite de la fonction f en + .

b°) Determiner le sens de variation de f sur [0;+ [.

c°) Resoudre dans [0;+ [ l'inequation f(t)0.02.

Au bout de combien d'année, selon ce modèle, la taille de l'echantillon sera-t-elle inferieur à vingt individus?

Partie B: En 2005, ce laoratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : "La population testée comporte 50% d'animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas; si un animal n'est pas malade, le test est negatif dans 0.1% des cas". On note M l'evenement " l'animal est malade" , M(barre) l'evenment contraire et T l'evenement "le test est positif".

1°) Determiner p(M), pM(T), pM(barre)(T).

2°) En deduire p(T).

3°) Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive, c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif, est superieur à 0.999. Ce test est-il fiable?

Voila, j'apprecierai vrément votre aide donc merci d'avance.

virx · le 25 avril 2009

Voir doc joints;

Pour B

le test est negatif dans 0.1% ; j'ai remplacé négatif par positif ; çela me paraît plus logique....

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