Dm De Maths Ts

[Lady M]

Bonjour, voici un exerice qui me pose beaucoup de problèmes :

On considère f définie par f(x)=ln[ (e^x -1 )/x ] et f(0)=0

1. Montrer que pour tout x non nul, (e^x -1 )/x est positif

2. Montrer que f est définie sur R, Montrer que f est continue ur R

3.Montrer que pour tout x réel on a: e^x plus petit que 1+x

En déduire, pour tout x de R* , le signe de :

[ (e^x -1 )/x ] - 1

4. En utilisant la question3. déterminer le signe de la fonction f.

5. On considère g définie sur R par : g(x)=x*(e^x)-(e^x)+1

a) déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.

b)déterminerles variations de g . En déduire son tableau de variations.

c) quel est le signe de g sur R

6. Montrer que f'(x)= [ g(x)/(x(e^x)-1) ]. En déduire les variations de f

7.On considère la suite définie par :

Uo=3/2 et Un+1 = f(Un)

a) Montrer que pour tout n de N, Un est positif

b)Montrer que pour tou x réel , on a f(x)-x=f(-x)

on pourra utiliser le fait que x=ln(e^x)

En déduire que la suite Un est décroissante

c) Montrer que la suite Un est convergente et déterminer sa limite

Merci !!!

[virx]

Bonjour, voici un exerice qui me pose beaucoup de problèmes :

On considère f définie par f(x)=ln[ (e^x -1 )/x ] et f(0)=0

1. Montrer que pour tout x non nul, (e^x -1 )/x est positif

2. Montrer que f est définie sur R, Montrer que f est continue ur R

3.Montrer que pour tout x réel on a: e^x plus petit que 1+x

En déduire, pour tout x de R* , le signe de :

[ (e^x -1 )/x ] - 1

4. En utilisant la question3. déterminer le signe de la fonction f.

5. On considère g définie sur R par : g(x)=x*(e^x)-(e^x)+1

a) déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.

b)déterminerles variations de g . En déduire son tableau de variations.

c) quel est le signe de g sur R

6. Montrer que f'(x)= [ g(x)/(x(e^x)-1) ]. En déduire les variations de f

7.On considère la suite définie par :

Uo=3/2 et Un+1 = f(Un)

a) Montrer que pour tout n de N, Un est positif

b)Montrer que pour tou x réel , on a f(x)-x=f(-x)

on pourra utiliser le fait que x=ln(e^x)

En déduire que la suite Un est décroissante

c) Montrer que la suite Un est convergente et déterminer sa limite

Merci !!!