Problème De Maths 1°s

[jeanmi58]

bonjour je voudrais que vous me donniez quelque lumière sur ce problème de math si possible merci.

Voilà le problème:

On considère un triangle ABC et trois points P, Q et R respectivement sur (BC), (AC) et (AB), distincts des points A, B et C.

1ére question: Justifier l'existence de trois réels p,q et r tels que P soit le barycentre de (B;1) et (C;-p),Q le barycentre de (C;1) et (A;-q) et R celui de (A;1) et (B;-r).

2)Dans le repère (A;vecteur AB;vecteur AC), déterminer les coordonnées des pointsR, Q puis P.

3)Démontrer que si les points P, Q et R sont alignés alors pqr=1. Démontrer réciproquement que si pqr= 1, alors P, Q et R sont alignés.

4)Application: Dans un triangle ABC, on donne R symétrie de B par rapport à A et Q milieu de [bC].(RQ) coupe (BC) en P.Quelle est la position de P sue [bC]?

[philippe]

bonjour,

Pour info, le résultat que tu vas démontrer est le théorème de Menelaüs.

1.

Si P est barycentre du système en question alors 1-p<>0

(et PB-pPC=0)

ce qui est le cas puisque si p=1 alors PB-PC=0 donc B=C : exclu)

de même pour les autres

2.

PB-pPC=0 donne AP=1/(1-p)(AB-pAC)

donc AP=(1/(1-p);-p/(1-p)) dans (A;AB,AC)

3.

si P,Q,R alignés alors PQ=k.PR (vecteurs) par exemple

trouve la condition pqr=1

si pqr=1 alors r=1/(pq)

tu devrais aboutir à qq chose du genre PQ=k.PR en utilisant les relations barycentriques

4.

exprime Q comme barycentre du système qui fait intervenit A et C, trouve q

exprime R comme barycentre du système qui fait intervenit A et B, trouve r

PQR alignés > pqr=1

en déduire p et la relation barycentrique liant A,P et C