Distance D'un Point à Un Plan

[Avril]

bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide sur cet exercice:

soit ABCDEFGH un cube, I le milieu de [EF] et J le centre du carré ADHE.

On se place dans le repère orthonormal (D;DA;DC;DH).

1)a)déterminer une équation du plan (AIB) et la distance de G à ce plan.

b)déterminer l'aire du triangle AIB

c)en déduire le volume du tétraèdre GAIB.

2)a)démontrer que la droite (BJ) est perpendiculaire au plan (AIG) et déterminer une équation cartésienne de ce plan.

b)déterminer la distance B à ce plan.

3)a)exprimer le volume du tétradèdre GAIB à l'aide de l'aire du triangle AIG.

b)en déduire l'aire de ce triangle.

Merci beaucoup d'avance!!!

[elp]

avec le repère donné, les coord des points sont:

D(0,0,0) A(1,0,0) C(0,1,0)

H(0,0,1) B(1,1,0) E(1,0,1)

F(1,1,1) G(0,1,1) I(1,1/2,1) et J(1/2,0,1/2)

1a)

équation du plan (AIB), c'est x=1 de façon évidente.

distance de G à ce plan : c'est GF donc 1

b) aire AIB: hauteur issue de I sur (AB)*base AB/2=1*1/2=1/2

c) volume de la pyr= aire de base * hauteur/3=aire (AIB)*GF/3=(1/2)*1/3=1/6

2)a)

BJ(-1/2,-1,1/2)

AI(0,1/2,1)

IG(-1,1/2,0)

BJ.AI=(-1/2)(0)+(-1)*(1/2)+(1/2)*1=0 dc BJ orthogonal à AI

BJ.IG=(-1/2)*(-1)+(-1)*(1/2)+(1/2)*(0)=0 dc BJ orthogonal à IG

BJ orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan AIG dc BJ orthogonal à ce plan.

b)

équation du plan: ax+by+cz+d=0

le vecteur(a,b,c) est orth à ce plan

BJ(-1/2,-1,1/2) est orth à ce plan dc dc il est colinéaires au vecteur de coord (a,b,c)

équation du plan (-1/2)x-1y+(1/2)z+d=0

A(1,0,0) ds ce plan dc (-1/2)*1+0+0+d=0 dc d=1/2

équation (-1/2)x-1y+(1/2)z+(1/2)=0

ou plus simplement

x+2y-z-1=0

b) B(1,1,0)

d de B au plan =l1+2*1-0-1)/rac(1²+2²+(-1)²)=2/rac(6)=2rac(6)/6=rac(6)/3 (cf formule du cours)

3)volume de GAIB=(1/3)*aire (AIG)*distance de B à AIG=(1/3)*aire(AIG)*rac(6)/3=aire (AIG)*rac(6)/9

le volume vaut 1/6 d'après les calculs du début

aire(AIG)*rac(6)/9=1/6

aire (AIG)=9/(6*rac(6))=9*rac(6)/(6*6)=9*rac(6)/(36)=rac(6)/4

[Avril]

Bonjour

d'accord, merci beaucoup, je refais l'exercice et je vous dit si je ne comprend pas un point!!

Merci!

[Avril]

rebonjour,

je ne comprends pas pourquoi l'équation du plan AIB est x=1... comment vous y prenez-vous?

Merci!

[elp]

A(1,0,0)

B(1,1,0)

I(1,1/2,1)

ces trois points ont la même abscisse qui est 1; ils sont ds le plan d'équation x=1

Sinon, on écrit que l'équation d'un plan est de la forme ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)différent de (0,0,0)

on remplace x par 1, y par 0 et z par 0 car A(1,0,0) est ds ce plan et on a: a*1+d=0

.........................1,y par 1 z par 0 car B est ds le plan et on a : a*1+b*1+0+d=0. Sachant que a+d=0, on en déduit tt de suite que b=0

.........................x par 1, y par 1/2 et z par 1 car C est ds le plan et on a: a*1+0*(1/2)+c*1+d=0 dc a+c+d=0. Puisque a+d=0, on a c=0

Finalement d=-a et l'équation est ax-a=0 soit encore ax=a , x=a/a=1 (a n'est pas nul car b et c le sont)

tous ces calculs sont faits pour te "convaincre" , moi je me contenterai de dire que les 3 pts ont la même abscisse.