Nombres Complexes

[Nigel Marven]

Bonjour à tous. Alors voilà j'ai un dm qui est encore un mix entre les nombres complexe, distances... Donc merci de m'apporter votre aide précieuse. Si possible, les passages les plus complexes pourraient être bien expliqués?! Merci encore.

Voici l'énoncé :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v). On prendra 2cm pour unité graphique.

Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2.

1.a. Déterminer l'affixe du point B1 image de B par l'homothétie de centre A et de rapport :sqrt:2.

(Je sais que la formule d'une homothétie est :

z'-w = k (z-w) avec w l'affixe du centre

< = > z'-i = :sqrt:2 (z-i)

et je trouve (sans certitude) z'= :sqrt:2*z + (- :sqrt:2 + 1)i

b. Déterminer l'affixe du point B' image de B1 par la rotation de centre A et d'angle ( /4).

(Je sais que la formule d'une rotation est :

z'-w = e^(i ) (z-w) avec w l'affixe du centre)

Placer les points A, B et B'.

2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que : z' = (1+i) z + 1.

a. Montrer que B a pour image B' par f.

b. Montrer que A est le seul point invariant par f.

c. Etablir que pour tout nombre complexe z distinct de i : ((z'-z) / (i-z)) = -i

Interpréter ce résultat en termes de distances, puis en termes d'angles.

En déduire une méthode de construction de M' à partir de M, pour M distinct de A.

3.a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l'ensemble 1 des points M du plan dont l'affixe z vérifie : |z-2| = 2.

b. Démontrer que z'-3-2i = (1+i)(z-2).

En déduire que si le point M appartient à 1 alors son image M' par f appartient à un cercle 2, dont on précisera le centre et le rayon.

c. Tracer 1 et 2 sur la même figure que A, B et B'.

Voilà merci pour votre soutien

[valbuenadu62]

svp moi ossi je narrive a rien avec cet exo

[valbuenadu62]

svp

[elp]

1a

z'-w=k(z-w)

z'-i=rac(2)(2-i)

z'=2rac(2)+i(1-rac(2))

1b

z'-w=e^i@(z-w)

z'-i=e^ipi/4*(2rac(2)+1(1-rac(2))-i)

e^ipi/4=cos(pi/4)+isin(pi/4)=rac(2)/2+irac(2)/2

z'-i=(rac(2)/2+irac(2)/2)(2rac(2)-irac(2))=2-i+2i+1=i+3

z'=3+2i

2a

z'=(1+i)*2+1=2+2i+1=3+2i dc on trouve l'affixe de B' et B' est bien l'image de B par f

2b

les points invariants st tels que leur affixe z vérifie

z=(1+i)z+1

z=z+iz+1

-iz=1

z=1/(-i)=-i²/(-i)=i c'est laffixe de A dc A est le seul pt invariant par f

2c

z'=(1+i)z+1=z+iz+1

z'-z=iz+1=iz-i²=i(z-i)

(z'-z)/(z-i)=i (si z ><i)

(z'-z)/(i-z)=-i

interprétation:

z'-z= affixe du vecteur MM'

i-z=affixe du vecteur MA

le module de (z'-z)/(i-z)=module de (-i)=1= rapport de MM'/MA dc MM'=MA et M' est sur le cercle de centre M passant par A

l'argument de (z'-z)/(i-z) est l'angle (MA,MM') et vaut -pi/2 (car (z'-z)/(i-z)=-i) dc M' est sur la perpendiculaire en M à (MA) avec angle -pi/2

c'est ce qui permet de faire la construction demandée

3a

lz-2l=rac(2) dc M est sur le cercle de centre K d'affixe 2 et de rayon rac(2) (ensemble sigma1)

3b

(1+i)(z-2)=z-2+iz-2i=(z-2)+i(z-2)

z'-3-2i=(1+i)z+1-3-2i=z+iz+1-3-2i=z-2+i(z-2) on trouve comme au dessus dc l'égalité est vraie

si M est sur l'ensemble sigma1 alors lz-2l=rac(2)

l1+il=rac(2)

lz'-3-2il=l1+il*lz-2l en utilisant l'égalité du 3b

lz'-3-2il=rac(2)*rac(2)=2

z' est sur les cercle de centre H d'affixe (3+2i) et de rayon 2 (sigma2)

[valbuenadu62]

merci bocoup