Suites.

[Avril]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur l'exercice suivant:

f est la fonction définie pour x>1/2 par f(x)= (x²)/(2x-1)

1)Démontrer que, pour tout x supérieur ou égal à 1, f(x) est supérieur ou égal à 1.

On peut donc définir la suite u=(Un) par:

U0=2

U(n+1)= f(Un) pour tout entier naturel n.

On se propose, dans la suite de l'exercice, d'exprimer Un en fonction de n.

2)On considère les suites V=(Vn) et W=(Wn) telles que, pour tout entier naturel n:

Vn= (Un - 1)/(Un) et Wn=ln Vn

(le 1 n'est pas en indice pour le numérateur, c'est un réel)

a)Vérifier que Vn et Wn sont bien définis.

b)Démontrer que la suite W est une suite géométrique.

c)Exprimer, pour tout entier naturel n, Wn puis Vn en fonction de n et en déduire que Un = 1/1-0.5^2n

En déduire la limite de la suite U.

Merci beaucoup à l'avance pour ceux qui m'aideront!

[elp]

difficile d'écrire clairement avec tous les indices ...!

1)

f(x)>=1

x²/(2x-1)>=1

x²/(2x-1)(2x-1)/(2x-1)

(x²-2x+1)/(2x-1)>=0

(x-1)²/(2x-1)>=0

si x>1 alors 2x-1 est positif et (x-1)² est bien >=0 dc f(x)>=1

on même f(x)>1 si x>1

f(x)>=1 dc 2x-1 jamais nul dc x²/(2x-1) existe et la suite u est bien définie

2)

v(n)=(u(n)-1)/u(n)

u(n) >1 dc jamais nul dc v(n) existe

u(n)>1 dc u(n)-1 >0 et dc v(n)>0 ce qui fait que ln(v(n) ) existe

pour tt n de N

w(n+1)=ln(v(n))

v(n)=(u(n)-1)/u(n)=[u(n-1)²/(2u(n-1)-1)]/u(n)={[u(n-1)²-2u(n-1)+1]/(2u(n-1)-1)}/u(n)=

{[u(n-1)-1]²/(2u(n-1)-1)}/u(n)=[u(n-1)-1]²/(2u(n-1)-1)/[u(n-1)²/2u(n-1)-1]=[u(n-1)-1]²/[u(n-1)]²=

{[u(n-1)-1]/[u(n-1)]}²=v(n-1)²

on a dc v(n)=v(n-1)²

ln(v(n)=ln(v(n-1)²)

ln(v(n)=2ln(v(n-1))

w(n)=2*w(n-1)

suite géo de raison 2

u(0)=2

v(0)=(2-1)/2=1/2

w(0)=ln(1/2))

w(n)=(2^n)*ln(1/2)

w(n)=ln(v(n)) dc v(n)=e^((2^n)*(ln(1/2))=(0.5)^(2^n)

v(n)=(u(n)-1))/u(n) dc u(n)-1=u(n)v(n)

u(n)[1-v(n])=1

u(n)=1/(1-v(n))

u(n)=1/[1-(0.5)^(2^n)] (je crois que ds ton énoncé tu as oublié une puissance)

si n td vers +00, (0.5)^(2^n) td vers 0 et u(n) td vers 1/1=1

[Avril]

D'accord, je regarde et je vous dis ce que je n'ai pas compris!

Merci beaucoup!

[Avril]

J'ai 2 questions:

Comment sait-on que Un >1 ?

Et pourquoi (0.5)^2^n tend vers 0 quand n tend vers +00 ?

Merci !!!

[elp]

On a démontré que f(x)>=1 pour x>=1

on a même f(x)>1 si x>1

on te dit que u(0)=2 dc f(u(0))=u(1) est >1

u(2)=f(u(1)) est à son tour >1 puisque u(1) >1 etc....

(ou par récurrence:

si u(n)>1 alors f(u(n))>1 dc u(n+1)>1

comme u(0)=2>1 etc....)

Si lql<1 alors q^n td vers 0 qd n td vers +00

(0.5)^(2^n)

si n td vers +00, 2^n td aussi vers +00 et (0.5)^(2^n) td vers 0 (puisque l0.5l<1)