Dm Nombre Complexe Ts

[Nigel Marven]

Bonjour à tous. Alors voilà j'ai un dm qui est un mix entre les nombres complexe, distances... Ce n'est pas trop mon fort ce genre d'exos(vous l'aurez remarqué vu mes autres posts). Donc merci de m'apporter votre aide précieuse. Si possible, les passages les plus complexes pourraient être bien expliqués?! Merci encore

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(o, u, v). Unité graphique: 0,5 cm. On note j le nombre complexe e^(i(2 )/3).

On considère les points A, B et C d'affixes respectives a=8, b=6j et c=8j².

Soit A' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle /3.

Soit B' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle /3.

Soit C' l'image de A par la rotation de centre B et d'angle /3.

1. Placer les points A, B, C, A', B' et C' dans le repère donné.

2. On appelle a', b' et c' les affixes respectives des points A', B' et C'.

2.a. Calculer a'. On vérifiera que a' est un nombre réel.

2.b. Montrer que b'=16e^(-i( /3)). En déduire que O est un point de la droite (BB').

2.c. On admet que c'= 7+7i 3. Montrer que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes en O.

3. On se propose désormais de montrer que la distance MA + MB + MC est minimale lorsque M=0

3.a. Calculer la distance OA + OB + OC.

3.b. Montrer que j^3=1 et que 1+j+j²=0

3.c. On considère un point M quelconque d'affixe z du plan complexe. On rappelle que a=8, b=6j et c=8j².

Déduire des questions précédentes les égalités suivantes:

l (a-z) + (b-z)j² + (c-z)j l = l a + bj² + cj l = 22

3.d. On admet que, quels que soient les nombres complexes z, z' et z'':

l z + z' + z'' l l z l + l z' l + l z'' l.

Montrer que MA + MB + MC est minimale lorsque M = 0.

[elp]

des indications:

ds la rotation de centre R d'affixe r et d'angle @, le point d'affixe z devient le point d'affixe z' tel que

z'=e^i@(z-r)+r

on a dc a'=e^ipi/3(b-c)+c

a'=e^ipi/3(6j-8j²)+8j²

a'=e^ipi/3(6e^2ipi/3-8e^4ipi/3)+8e^4ipi/3

a'=6e^3ipi/3-8e^5ipi/3+8e^4ipi/3=6(cos3pi/3+isin3pi/3)-8(cos5pi/3+isin5pi/3)+8(cos4pi/3+isin4pi/3)=6(-1+0)-8(1/2-i(rac3)/2)+8(-1/2-i(rac3) /2)=-14

on fait pareil pour b'

b'=e^ipi/3(8j²-8)+8 et on trouve 8-8irac(3)=16(1/2-irac(3)/2)=16e^-ipi/3

a et a' étant réels, A et A' st sur l'axe x'x dc alignés avec O

b' a pour argument -pi/3 et b a pour argument 2pi/3

angle (OB,OB')=(-pi/3)-(2pi/3)=-pi dc O,B,B' alignés

c'=7+7irac(3)=14(1/2+irac(3)/2)=14 e^ipi/3 dc arg c'=pi/3

celui de c est 4pi/3

on fait comme au dessus et on trouve que C,C' et O st alignés

OA+OB+OB=lal+lbl+lcl=8+6ljl+8lj²l=8+6+8=22

j^3=j²*j=(e^2ipi/3)²*(e^2ip/3)=e^4ipi/3*e^2ipi/3=e^6ipi/3=e^2pi=1

1+j+j²=1+cos2pi/3+isin2pi/3+cos4pi/3+isin4pi/3=1-1/2+irac(3)/2-1/2+i(-rac3/2)=0

la-z+(b-z)j²+(c-z)jl=la-z+bj²-zj²+cj-zjl=la+bj²+cj-z(1+j²+j)l=la+bj²+cjl car 1+j²+j=0

la+bj²+cjl=l8+6jj²+8j²jl=l8+6j^3+8j^3l=l8+6+8l=22 car j^3=1

lj²l=1=lj^3l

la-z+(b-z)j²+(c-z)jl<=la-zl+l(b-z)j²l+l(c-z)jl en tenant compte de l'inégalité donnée ds l'énoncé

la-z+(b-z)j²+(c-z)jl<=la-zl+l(b-z)j²l+l(c-z)jl

<=la-z)+lb-zllj²l+lc-zlljl

<=la-zl+lb-zl+lc-zl

le 1er membre vaut 22 et c'est OA+OB+OC

le 2è est MA+MB+MC

on a dc pour tout M, MA+MB+MC>=OA+OB+OC

le min est dc qd M=O et c'est 22