Exercice à Faire

[ahmeddur]

bonjour

j'ai deux exercices à faire dont je ne sais pas résoudre un corrigé (dans le livre mais mon livre a que des fautes)

c'est le numero 84 ET 85

MERCI

[elp]

n 84

pour tout n

on calcule u(n+1)-u(n)

on trouve 1/(n²(n+1)²)

ce nbre est >0 dc u croissante

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on calcule v(n+1)-v(n)

on trouve

u(n+1)-u(n)+1/3(n1)^3-1/3n^3=1/(n²(n+1)²)+1/3(n1)^3-1/3n^3

on réduit au m déno: 3n^3(n+1)^3

le num est: 3n(n+1)+n^3-(n+1)^3=3n²+3n+n^3-n^3-3n²-3n-1=-1

la diff est dc négative dc v est décroissante

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v(n)-u(n)=1/3n^3 td vers 0 qd n td vers +00

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on a bien 2 suites adjacentes

n85

1)pour tout n

u(n+1)-u(n)=1/(n+1)! dc >0 dc u croissante

2)

v(n+1)-v(n)=u(n+1)-u(n)+1/(n+1)(n+1)!-1/nn!=

1/(n+1)!+1/(n+1)(n+1)!-1/nn!

on réduit au m déno: (n+1)!(n+1)nn!

le num est (n+1)nn!+nn!-(n+1)(n+1)!=n!(n(n+1)+n-(n+1)²)=n!(-1) (penser à remplacer (n+1)! par (n+1)n! )

nbre négatif dc v décroit

3)

v(n)-u(n)=1/nn! td vers 0 qd n td vers +00

4) on a bien 2 suites adjacentes.

elles ont la m limite que l'on appelle e.(u croit vers e et v décroit vers e)

5)

on a u(q)<e<v(q)

u(q)<p/q<u(q)+1/qq!

en multipliant les mbres par q! (positif) on a:

u(q)q!<pq!/q<u(q)q!+1/q

u(q)q!<p(q-1)!<u(q)q!+1/q

u(q)q!=q!(1+1/1!+1/2!+1/3!+1/q!)=q!+q!+q!/2!+q!/3!+... q!/(q-1)!+q!/q!

c'est une somme d'entiers dc c'est un entier k

p(q-1)! est un entier on a dc une inégalité du style: k<entier<k+(1/q) ce qui est impossible

dc e ne peut pas être égal au quotient de 2 entiers p/q