Exo Sur Les Fonctions

[hollywood]

slt a tous voila il me reste plus que cette exo pour finir mon dm et je n'arrive pas du tout a le finir. Japprecierai bocoup votre aide.

Voila l'enoncé:

Soit f la fonction definie sur ]0,+ [ par f(x) = ex-ln (x).

1°) Etudier les limites de f en 0 et en + .

2°)a°) Calculer la derivé f' de la fonction f et montrer que f'(x) = g(x) / x où g(x) = xex-1.

b°) Etudier le sens de variation de g sur ]0;+ [.

c°) Montrer que l'equation g(x) = 0 a une unique solution alpha dans ]0;+ [.

Donner un encadrement de alpha d'amplitude 10-2.

d°) En deduire sur l'intervalle ]0;+ [ le signe de f'.

3°) Etablir le tableau de variation de f sur ]0;+ [.

Voila. merci d'avance pour votre aide .

[elp]

f(x)=e^(x)-ln(x)

si x -> 0, e^(x)->1 et ln(x)->-00 dc f(x) ->0+00=+00

___________________________

f(x)=e^(x)[1-(ln(x)/x)*(x/e^(x))]

si x->+00, ln(x)/x td vers 0 ainsi que x/e^(x) et e^(x) td vers +00 dc f(x) td vers +00

____________________________

f(x)=e^(x)-ln(x) dc f'(x)=e^(x)-(1/x)=[xe^(x)-1]/x

g(x)=xe^(x)-1

ds R+, f'(x) a dc le même signe que g(x)

g'(x)=e^(x)+xe^(x)=e^(x)[1+x]

g'(x) a dc le signe de 1+x

dc comme on travaille ds R+, g'(x) strictement positif et g strictement croissante

si x->0, g(x)->-1(nbre négatif)

g(1)=e-1 nbre positif

avec le th des valeurs intermédiaires, on peut dire que g(x)=0 a une solution unique alpha entre 0 et 1

on utilise la calculette pour en trouver des valeurs approchées.

tableau de variat de f:

si x entre 0 et alpha, g(x) nég dc f décroit

si x entre alpha et +00, g(x) positif et f croit

si x=alpha, g(x)=0 et f atteint son min