Fonction Logarithme Neperien

[hollywood]

slt a tous, voila il me reste plus que cet exo a faire pour finir mon dm est jdois l'avouer je bloque completement , si vous pourriez m'aider sa serait vrement sympa. Voila l'énoncé:

Soit f la fonction définie et continue sur l'intervalle ]1;+ [ par f(x) = x/ln(x).

1°)a°) Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en + . (j'ai réussi celle en 1 mais celle en +inf je n'arrive pas a faire par composé.)

b°) Etudier les variations de la fonction f . (sa je l'ai fait)

2°) Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et un+1 = f(un) pour tout entier naturel n.

a°) Tracer la courbe représentative © de la fonction f . Constuire la droite d'équation y=x et les points M1 et m de la courbe © d'abscisses respectives u1 et u2.

Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (un)

b°) Demontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a un e.

c°) Démontrer que la suite (un) converge vers un réel l de l'intervalle [e; + [.

3°) En etudiant de deux manieres la limite de la suite ( f(un) ), demontrer que f(l) = l.

4°) En deduire la valeur de l.

Voila j'apprecierais vrement votre aide. Merci d'avance.

[elp]

Quelques indications: (je te laisse le soin de rédiger proprement)

d'après le cours, on sait que qd x td vers 0 alors xln(x) td vers 0-

on a x/ln(x) avec x>1

on pose X=1/x

qd x td vers +00, alors X td vers 0+

x=1/X

ln(x)=ln(1/X)=-ln(X)

x/ln(x)=(1/X)/-ln(X)=-1/(Xln(X)

le déno td vers 0- dc la lim est +00

En étudiant les variations de f: on voit que f est strictement décroissante pour x ds ]1,e[ puis strictement croissante pour x ds ]e;+00[.

f atteint son min en x=e et ce min est e ( car f(e)=e)

(raisonnement par récurrence)

U(0)=5>e

Supposons que U(n)>=e

f croissante ds [e;+00[ fait que f(U(n))>=f(e)

c'est à dire U(n+1)>=e

c)

U(1)<U(0)

on fait un raisonnement par récurrence

supposons U(n+1)<U(n)

on a montré que tous les U(n) sont >e dc comme f est strictement croissante ds ]e,+00[

on a dc : f(U(n+1))<f(U(n))

dc: U(n+2)<U(n+1)

on montre ainsi que U est décroissante

U étant minorée par e, U est convergente vers une limite l qui est ds [e;+00[

3)

si U(n) td vers l alors f(U(n)) td vers f(l) car f est continue

mais f(U(n))= U(n+1) qui td vers l

on a dc l=f(l)

l=l/ln(l)

l*ln(l)=l

l(ln(l)-1)=0

l non nul car ds [e;+00[ dc ln(l)-1=0

ln(l)=1

l=e