Dm De Maths 05/01/09

[Aki]

Bonjour!

Voilà j'ai un Dm de maths (entre-autres) à finir pour le 5 janvier... Et j'm'y suis pris un peu tard. Puis avec Nouvel An qui approche j'ai peur de ne pas avoir tout le temps qu'il faudrait consacrer à ces maths, donc un peu d'aide ne serait pas de refus... Il s'agit de l'exercie 124 sur l'image

La question 1 est facile, pas de probleme; la 2 j'ai montré que les courbes admettaient une même asymptote et je peux dire que lorsque k<0 les courbes sont en dessous de l'asymptote (et inverse) mais je n'arrive pas à le démontrer correctement; j'commence à bloquer à la 3a, mes résultats ne semblent pas cohérents, quand k<0 je trouve un sens de variation toujours positif (là c'est juste), mais avec k>0 je trouve un sens de variation toujours négatig (or, selon le graphe il devrait etre négatif jusqu'à un certain point, puis positif)... Je me suis arreté là

J'reprendrais le probleme demain, et si vous pouviez me donner des indices pour les questions suivantes, uneéspèce de fil conducteur, ca m'arrangerais...

Merci d'avance : )

Bonne soirée!

[elp]

quelques pistes:

la dérivée de fk(x) est f'k(x)=1-ke^-x

on cherche à résoudre 1-ke^-x=0

1=ke^-x

1/e^-x=k

e^x=k

si k est négatif( ou nul mais c'est exclus ds l'énoncé), il n'y a pas de solutions car e^x est tjs strictement positif

si k >0, il y a une solution unique , x=ln(k)

si x <ln(k) la dérivée est négative puis nulle si x=ln(k) puis positive si x>ln(k)

fk admet dc un minimum

pour le b)

xm=ln(k) abscisse du min

ordonnée ym du min: fk(ln(k)=ln(k)-2+k*(1/k) (car e^-x=1/k)

ym=ln(k)-1

on a dc ym=xm-1 et c'est bien l'équation d'une droite

f'k(x)=1-ke^-x

-fk(x)+x-1=-x+2-ke^-x+x-1=1-ke^-x dc on a bien l'égalité proposée ds l'énoncé

[Aki]

J'ai pas encore tout saisi du premier coup d'oeil mais merci! =D

J'finis ma géo et je m'y remets : )

[Aki]

Bonsoir : )

Finalement un délai supplémentaire nous a été accordé pour rendre ce devoir. J.'en profite et je reviens donc sur quelques points...

Dans la question 4b je comprends ce qui nous est demandé mais je ne vois pas comment démontrer que la droite D ne recontre qu'une seule fois chaque courbe Ck. Puis pour la question 5 j'ai du mal à comprendre la question, du premier coup d'oeil je dirais que Ck coupe 13 fois la courbe y=2; à soir 10 fois quand k>0 et 3 fois quand k<0; il faudrait juste m'aider à le démontrer correctement.

Pluch pluch!

[elp]

équation de l'asymptote: y=x-2

parallèle à l'asymptote a pour équation y=x+p (p réel non égal à -2 car D différente de delta ds l'énoncé)

A l'intersection d'une courbe et d'une parallèle à delta, on a

x+p=x-2+ke^(-x)

p+2=ke^(-x)

e^x=k/(p+2)

si k et p+2 st positifs alors e^x=k/(p+2) a une solution unique (les droites y=x+p avec p>-2 coupent les courbes Ck avec k>0 en 1 point) (en d'autres termes les // à delta au dessus de delta coupent les Ck qui sont au dessus de delta)

si k et p+2 st négatifs c'est pareil (les // en dessous de delta coupent les Ck qui st en dessous)

pour tout k (sauf 0) au point d'intersection de Ck avec la //: fk(x)=x+p

f'k(x)=-fk(x)+x-1=-x-p+x-1=-p-1

ttes les tgtes ont le même coeff directeur -p-1 dc elles st parallèles.

5)

y=2: droite // à x'x

si k<0, f strictement croissante et on peut montrer que f(x)=2 a une solution et une seule grace au th des valeurs intermédiaires

si k>0, f décroit puis croit et le min est ln(k)-1

si ce min est <2, on aura 2 pts d'intersection sinon pas de points (encore avec le th des valeurs intermédiaires)

le min est ln(k)-1

ln(k)-1<2

ln(k)<3

k<e^3

en résumé

si k<0 1pt

si k entre 0 et e^3: 2pts

si k=e^3 1 pt

si k>e^3 pas de point

[elp]

j'ai modifié ma réponse pour le 5)

[elp]

j'ai modifié ma réponse pour le 5)