Aide Exercice

[Serial-Killeuse]

bonsoir j'ai cet exo à fairen je ne sais pas comment débuter pr montrer les formules: qqn peut-il m'aider?

On rappelle les formules d’Euler :

Cosx= e^ix + e^-ix/2 et sinx= e^ix – e^-ix/2i

1)à l’aide des ces formules, montrer que cos a – cos b = -2sin(a-b/2) sin(a+b/2)

2)soit a un nombre réel quelconque ; calculer la limite de cos(a+h)-cas(a)/h lorsque h tend vers 0

3)la fonction x->cos x est-elle dérivable sur R ? si oui quelle est sa dérivée ? (utiliser le résultat précédent).

merci beaucoup d'avance!

[elp]

1)

il faut utiliser la règle suivante: e^a*e^b=e^(a+b)

on part de sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2) en utilsant l'égalité de l'énoncé

on trouve (1/2i)([e^i(a+b)/2-e^-i(a+b)/2]*[e^i(a-b)/2-e^-i(a-b)/2]

on multiplie termes à termes et les exposants se simplifient (a+b+a-b=2a et a+b-a+b=2b....)

on trouve (-1/4)[e^ia-e^ib-e^-ib+e^-ia]=(-1/4)[2cos(a)-2cos(b)]=(-1/2)[cos(a)-cos(b)] (en utilisant la 1ère égalité de l'énoncé)

finalement, on a bien

cos a – cos b = -2sin((a-b)/2) sin((a+b)/2)

2)[cos(a+h)-cas(a)]/h=[-2sin(a+h/2)*sin(h/2)]/h=-[sin(h/2)/(h/2)][sin(a+h/2)]

qd h tend vers 0, h/2 tend vers 0 et [sin(h/2)/(h/2)] tend vers 1 (résultat du cours) et sin(a+h/2) tend vers sin(a) dc la limite cherchée est -sin(a)

3)la limite de [cos(a+h)-cas(a)]/h qd h td vers 0 existe et vaut -sin(a) dc cos est dérivable et la dérivée de cos(x) est -sin(x)

[Serial-Killeuse]

ok d'accord, jai compris le raisonnement.

merci beaucoup !