Equation Différentielle Ts

[Nigel Marven]

Bonjour à tous, voilà dm sur les équations différentielles. J'ai "réussi" en majeure partie les 2 premières questions mais je ne suis pas sûr des résultats. Merci de m'apporter votre aide

Partie A: Résolution d'une équation différentielle. On considère l'équation différentiel: y'-2y=e^2x (E)

1. Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)=ex^2x est solution de (E)

2. Résoudre l'équation différentielle: y'-2y=0 (E0)

3. Démontrer qu'une fonction v définie sur R est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de (E0)

4. En déduire toutes les solutions de l'équation (E)

5. Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0

Partie B: Etude d'une fonction. Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x+1)e^2x

1. Etudier la limite de f en + puis la limite de f en -

2. Soit x un nombre réel. Calculer f'(x)

Etudier les variations de f puis dresser le tableau de variation. Préciser le signe de f sur R

Voilà merci de m'aider à trouver. Si possible je demanderai des explications détaillés sur ce que je ne comprend pas. Merci beaucoup

[elp]

pour la partie A

1)

y=x*e^(2x) dc y'=e^(2x)+x*2*e^(2x)=(2x+1)*e^(2x)

y'-2y=(2x+1)*e^(2x)-2x*e^(2x)=e^(2x) dc u sol de E.

2)

y'=2y dc y=k*e^(2x) (c'est du cours)

3)soit v sol de E

on a v'-2v=e^(2x); on a aussi u'-2u=e^(2x) dc par soustraction : (v'-2v)-(u'-2u)=0 dc (v-u)'-2(v-u)=0 et v-u est sol de E0

soit (v-u) sol de E0

on a (v-u)'-2*(v-u)=0 dc v'-2v=u'-2u et comme u'-2u=e^(2x), v est bien solution de E

4)

v sol de E ssi v-u sol de E0 dc ssi v-x*e^(2x) sol de E0 dc ssi v-x*e^(2x)=k*e^(2x) dc ssi v=(x+k)*e^(2x)

si x=0, (x+k)*e^(2x)=(k)*e^0=k dc pour avoir 1, il faut k=1

dc v=(x+1)*e^(2x)