Problème d'approximation de la loi binomiale par la normale

[juliep51]

Bonjour à vous tous!

Désolé de vous achaler encore avec mes exercices de mathématiques, mais je suis un cours à distance et j'ai un devoir à envoyer bientôt et je voudrais être certaine de ma réponse.

Voici le problème:

Un sondage revèle que 75% des Canadiens surestiment le versement initial requis pour effectuer l'achat d'une propriété. Si vous formez un échantillon de 25 canadiens, quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 5 répondants qui surestiment le versement initial pour effectuer un achat d'une propriété?

J,ai fait tout le début du problème et tout a bien été jusqu`à temps que je m'apercoive que p=.75 ce qui n'est donc pas dans la table de la loi binomiale, ainsi que n=25<30.

Dans ce cas là, il faut donc inverser le succès et l'échec, ce qui fait que p=.25 et q=.75 jusque là tout va bien.

Cependant, quand je pose ma probabilité qui est que P(x au plus 5) = P(Y plus grand que 5) ????

C'est à cette étape que je bloque. 8O

J'ai fait mes calculs avec Y plus grand que 5, donc je trouve cela dans la table de la loi binomiale, vu que j'ai inversé le succès et l'échec donc p=.25

donc p(y=6+7+8...25)= .6218 ou 62.18%

Je voulais juste savoir si j'étais correcte dans mes calculs et dans mon raisonnement ou si je suis complètement hors sujet...

Merci beaucoup si vous pouvez m'aider pour ce problème!

Julie

[philippe]

bonjour,

c'est le cadre d'une loi binomiale de paramètres (n,p)=(25,3/4)

p(X=k)=b(n,p,k)=C(n,p)p^k.q^(n-k)

remarque:

E(X)=m=np

V(x)=s²(X)=npq

si n>50 et np<5 alors on approxime avec une loi de poisson de paramètre lambda=np

cad

b(n,p,k)=e^(-k).lambda^k/k!

si s²(X)=npq>10 (voire 5) on approxime avec une loi normale de paramètres m=np et s(x)=sqrt(npq)

regarde donc dans quel cas tu te trouves

[philippe]

la proba qu'il y ait AU PLUS 5 est donnée par:

P(X<=5)=P(X=0)+...+P(X=5)

et non l'inverse

au cas où:

loi normale de paramètres m,s:

la densité de proba est donnée par f(x)=1/(s.sqrt(2pi)).e^[-(x-m)²/(2s²)]

[juliep51]

Merci de ta réponse,

Ce que je voulais savoir surtout c'était si mes calculs étaient bons quand on inverse le succès et l'échec.

J'ai bien regardé et ce n'est pas la loi de poisson, c'est l'approximation de la loi binomiale par la normale.

Merci encore!

[philippe]

je suis d'accord que cela revient à calculer P(X>=5) si on prend p=0.25.

mais je ne suis pas d'accord avec tes calculs.

on sait que les 3/4 surestiment

donc en moyenne sur une population (prise au hasard) de 100 personnes, il y aura 75 qui surestiment et 25 qui sous estiment.

en moyenne sur un échantillon de 25 personnes:

19 surestiment (18.75...)

et 6 sous estiment

donc la proba d'avoir AU MAX 5 sur 25 qui sur estiment (et donc au moins 20 qui sous estiment) doit être faible!

(tu ne dois pas avoir beaucoup de chances de trouver cette configuration.)

en effet:

pour p(X=k)=C(25,k)(.75^k)(.25^(25-k))

P(X<=5)=P(X=0)+...+P(X=5)=1,24.10^-8

si tu essayes d'approcher cela avec une loi normale de paramètres m=np=18.75 et s=sqrt(npq)=2.16

ça va être un peu difficile puisque les effectifs sont trop petits

mais regardons ce qui se passe...

le changement de variable T=(X-m)/s donnera

P(0<=X<=5)=P(-8.66<=T<=-6.35)#4,27.10^-11

il y a une différence non négligeable.