Devoir De Math

[love-me]

Bonjour à tous,

J'ai un devoir maison à rendre pour vendredi et sachant que je rattaque les cours jeudi j'aimerai le terminer avant demain mais je bloque et je ne sais comment avancé, si vous pouvez m'aider je vous en remercie d'avance.

Merci d'avance pour votre aide...

On considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur R telle que, pour tout x réel:

f"(x) ≥ 0

On appelle C sa courbe associée dans un repère orthogonal et soit x0 un réel fixé.

1) Justifier que la fonction f' est croissante sur R

2)Déterminer une équation de la tangente a C au point d'abscisse x0

3) 3) On considère alors la fonction définie sur R par:

(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0).

Montrer alors que la fonction φ admet un minimum en x0 qui vaut 0

4)En déduire le signe de φ(x) sur R

5)Quelle interprétation graphique doit-on déduire de ce résultat?

6)En déduire la propriété graphique caractérisant les fonctions convexes.

7)Déterminer sous quelle(s)condition(s)une fonction du second degré vérifie la propriété graphique précédente.

Voici ma démarche: (pouriez vous me dire si mes réponses sont bonnes,s'il manque des justifications, et m'aider dans les suivantes)

1)f" est la dérivée de f' sur R

On a f"(x)≥0

Or si pour tout x de R, f"(x)≥0, alors f' est croissante sur R

Donc f' est croissante sur R

2) La tangente à C au point d'abscisse x0 a pour équation:

T(x0) = f'(x0)(x-x0)+ f(x0)

3)Soit φ(x)= f(x)-f"(x0)(x-x0)-f(x0) , φ(x)Є R

Supposons qu'il existe un réel t tel que φ(t)< φ(x0)

φ(t)< φ(x0)

Û φ(t)< f(x0)-f'(x0)(x0-x0)-f(x0)

<-> φ(t)< 0

<-> f(t)-T(x0)<0

<-> f(t)< T(x0)

<-> f'(t)< 0 car la dérivée de la tangente selon x est 0 , f'(x0) et f(x0) étant des réels

<-> f"(t)< 0

D'où contradiction selon l'énoncé où f"(x)≥ 0 sur R

Donc φ admet un minimum en x0 qui vaut 0.

4) Je bloque ici car ne connaissant pas ce que vaut la fonction je ne voit comment étudier son signe ?

les raisonnement que j'ai effectuer:

-on sait que f' est croissant sur R d'après la 2)

- on sait que φ admet un minimum en x0 qui vaut 0 daprès la 3)

φ est la composée de fonction f et sa dérivée f' ?????

Comment peut-on savoir le signe de f? car si f et f' croissante, alors φ positif sur [x0,+ l'infini] ?

Mais comment savoir sur sur [- l'infini ; x0] ?

Doit on obtenir ce tableau de variation?

Merci beaucoup à toutes personnes voulant m'aider...