Exercice Fonction Complexe Et Involutive

[Proton]

Bonjour,

J'ai un exercices sur es fonctions complexes et involutive mais je n'y comprend vraiment pas grand chose...

Je vous met le début :

On dit qu'une fonction f de IC dans IC est involutive si, pour tout complexe z de IC on a :

(fof)(z)=z, où fof désigne la fonction composée de f avec f

Soient A et B deux nombres réels. On considère la fonction F définie de IC dans IC par

F(z) = Az+Bzb (zb = z barre)

1. Calculez F(1) et F(i). Déjà ici, je comprends pas bien ce que je dois faire. Il suffit que je remplace z par 1 et i ? Donc F(1) = A+Bzb et F(i) = Ai + Bzb, ou c'est plus compliqué que ça ?

2. Supposons que pour tout complexe z, on ait :

F(z) = 0

Démontrer que l'on a alors A =B = 0

3. Déterminez A et B pour que, pur tout complexe z, on ait :

F(z) = z

=> Alors, c'est seulement le début de l'exo, je suppose que ce sont des questions simples, mais me voilà déjà bloqué, donc si on pouvait m'aider à résoudre tout ça, ça serait bien sympathique... =)

[elp]

si z=x+iy (x et y réels) alors (zb)=x-iy

f(z)=az+b(zb)

f(1)=a*1+b*1=a+b

f(i)=ai+b(-i)=ai-bi=i(a-b)

si f(z)=0 pour tout z alors f(1)=0 et f(i) aussi

a+b=0

i(a-b)=0

donc on en déduit que a+b=0 et a-b=0 ce qui entraine que a=0 et b=0

f(z)=z

az+b(zb)=z

a(x+iy)+b(x-iy)=x+iy

ax+iay+bx-iby=x+iy

ax+bx-x+i(ay-by-y)=0

x(a+b-1)+iy(a-b-1)=0

cela doit être vrai pour tout z dc

a+b-1=0

a-b-1=0

on trouve a=1 et b=0 dc f(z)=1*z+0*(zb)=z

[Proton]

Ah, bah merci bien !

Pourrait on m'aider à faire la suite ?

On considère la fonction fA,B définie de IC dans IC par :

fA,B(z) = Az + Bzb (zb=z barre)

1. Exprimez pour tout complexe z (fA,B o fA,B)(z). Ici je trouve donc, (fA,B o fA,B)(z) = A(Bz+Bzb) + B((Az + Bz)b)

Est ce que c'est bien cela ?

2.La fonction fA,B est involutive si et seulement si A et B vérifient un système de deux équations. Donnez ce système. Pour ici, je ne sais pas vraiment quoi faire..

[elp]

f(z)=Az+Bzb

f°f(z)=f(Az+Bzb)=A(Az+Bzb)+B(Az+Bzb)b=A(Az+Bzb)+B(Azb+Bz)

car le conjugué de Az+Bzb est Azb+Bz

f°f(z)=z(A²+B²)+2ABzb

si z=x+iy, (x et y réels) alors zb=x-iy

z(A²+B²)+2ABzb=(x+iy)(A²+B²)+2AB(x-iy)=x(A²+B²+2AB)+iy(A²+B²-2AB)

ce sera égal à z=x+iy ssi

A²+B²+2AB=1 et A²+b-2AB=1

(A+B)²=1

(A-B)²=1

solutions

A=1,B=0

A=0,B=1

A=0,B=-1

A=-1, B=-1