Limites De Suites (terminale S)

[zawiz]

Bonjour,

Voici mon énoncé:

On pose Un= n/(n²+1) + n/(n²+2) + ... + n/(n²+n) (n 1)

Montrer que n²/(n²+n) Un n²/(n²+1) pour tout n 1

En déduire la limite de Un.

Pour la première partie de l'exercice,

On a n-1 < n < n+1

donc (n-1)/(n²+1) < n/(n²+1) < (n+1)/(n²+1)

et (n-1)/(n²+1) < n/(n²+2) < (n+1)/(n²+2)

et (n-1)/(n²+n) < n/(n²+n) < (n+1)/(n²+n)

On aurait donc

(n-1)/(n²+1)+(n-1)/(n²+1)+...+(n-1)/(n²+n)<n/(n²+1)+n/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(n+1)/(n²+1)+(n+1)/(n²+1)+... +(n+1)/(n²+n)

Soit (n-1)/(n²+1)+(n-1)/(n²+1)+...+(n-1)/(n²+n)< Un < (n+1)/(n²+1)+(n+1)/(n²+1)+... +(n+1)/(n²+n)

Mais je n'arrive pas à réduire les membres de gauche et de droite, sachant que les suites ne sont ni géométriques ni arithmétiques.

Par contre pour la deuxième partie, je sais que l'on peut utiliser le théorème des gendarmes.

Je ne sais pas si ce que j'ai fait est faux, j'attend votre aide ()

zawiz.

[zawiz]

est ce que quelqu'un peut m'aider, je dois faire cet exercice pour demain,

s'il vous plait

merci d'avance, je compte sur vous

[elp]

U(n)=n/(n²+1)+n/(n²+2)+.....n/(n²+n)

si on remplace chaque déno par un nombre plus petit (ou égal), on va obtenir des quotients plus grands (ex 1/2 >1/3 1/2>1/4 etc)

le plus petit des déno est n²+1

on remplace tous les déno de U(n) par n²+1

on a n/(n²+1)+n/(n²+1)+....n/(n²+1) donc n fois n/(n²+1) ce qui fait n²/(n²+1) et cette somme est > U(n)

inversement si on remplace chaque déno par un plus gd que lui, on va obtenir des quotients plus petits qu'avant

on remplace ds U(n) tous les déno par n²+n

on aura pour somme nfois n/(n²+n) dc n²/(n²+n), somme qui est < U(n)

n²/n²+1 et n²/n²+n tendent vers 1 qd n td vers +00 dc U(n) td vers 1 aussi

[zawiz]

Merci beaucoup,

je vais pouvoir finir mon exercice....

zawiz.