Probabilités Et Dépistage

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Bonjour, je suis nouveau sur le forum et je suis complétement coincé dans mon DM de maths j'ai essayé dans tous les sens et je retombe systématiquement sur les deux même valeurs 0.03 ou 0.99 alors s'il vous plait aidez moi!

Soit un test supposé dépister une maladie dans une population donnée. On note, M

l'événement « l'individu est malade » et t l'événement « l'individu a un test positif». On

appelle valeur diagnostique du test la probabilité qu'un individu soit malade sachant

que le test est positif. On note t le taux d'individus malades dans la population et v, la

valeur diagnostique du test. Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes

: la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est 0,99 et la probabilité qu'un

individu non malade ait un test négatif est 0,99.

1. Cas particulier. Supposons que t = 0.03. Calculer les probabilités que:

a) un individu ait un test Positif

B) Un individu don t le test est positif soit malade.

c) un individu dont le test est positif ne soit pas malade (On parle dans ce cas de « faux positif ».)

d) un individu dont le test est négatif soit malade (On parle dans ce cas de « faux négatif».)

2. Cas général. t est un réel de l'intervalle [0 ; 1]

a) Exprimer p(M inter T) et p(Mbarre inter T) en fonction de t. En déduire que p(T)= 0.98t + 0.01 et que v = 99t / (98t+1)

B) Etudier la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(t) = 99t / (98t+1)

c) Que peut-on dire de la valeur diagnostique du test pour les maladies rares, c'est à dire quand t est proche de zero ? A partir de quelle valeur de t la valeur diagnostique du test est-elle supérieure à 0,5 ?

d) Exprimer PTbarre(Mbarre )en t'onction de t . Etudier la fonction t->PTbarre(Mbarre )

e) Quelle conclusion générale peut-on tirer quant à la valeur diagnostique d'un test ?

Merci d'avance pour votre aide!