Tétraède De L'espace

[versatis]

Bonjour,

Qui peut m'aider dans mon dm qui me cause du soucis:

ABCD est un tétraèdre de l'espace.

1. Démontrer que . + . + . = 0

2. On suppose que (AB) est orthogonale à (CD) et que (AC) est orthogonale à (BD). Montrer que (AD) est orthogonale à (BC). (Un tel tétraèdre est dit orthocentrique.)

3. On suppose dans cette question que ABCD est un tétraèdre orthocentrique.

Soit A' le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD) et B' celui de B sur le plan (ACD).

a) Calculer les produits scalaires . et .

En déduire que A' est l'orthocentre du triangle BCD.

b) Démontrer de façon analogue que B' est l'orthocentre du triangle ACD.

c) On note K le point d'intersection de (CD) et (BA '). Démontrer que K appartient à la droite (AB ').

d) On note H le point d'intersection de (AA ') et (BB).

Démontrer que les quatre hauteurs du tétraèdre orthocentrique sont concourantes.

4. Réciproque.

On suppose que dans un tétraèdre ABCD le projeté orthoganal A' de A sur le plan (BCD) est l'orthocentre de (BCD). Montrer que ABCD est orthocentrique.

Merci d'avance pour votre aide!