[résolu, merci]Une construction, impossible

[Max Zorin]

Au problème suivant

Construire un triangle ABC sachant que BC = 10, alpha = BAC = 120° et A'AC = 40° ou AA' est une médiane du triangle.

Grâce à Gaus j'en viens à admettre qu'il est impossible de construire un angle de 40° (impossible de tracer un polygone régulier à neufs côtés)

- vous confirmez ?

- comment peut-on démontrer le théorème en question ?

p.s: construire = règle (non-graduée sauf, éventuellement, pour la mesure de 10) et compas.

D'avance Merci

Max

[philippe]

bonjour,

oui c'est confirmé malheureusement ou heureusement!

nombres de Fermat.

on a le résultat suivant:

si a^n+1 est premier alors n est une puissance de 2.

les nombres Fn=2^(2^m)+1 sont appelés nombres de Fermat.

Fermat pensait qu'ils étaient tous premier mais par exemple:

2^32+1 ne l'est pas (Euler, 1732; j'étais pas né!)

2^64+1 non plus (Landry, 1880; toujours pas!)

voici quelques nbs premiers de Fermat:

3,5,17,257,65537...

remarque: Si Mn=a^n-1 est premier alors a=2 et n est premier.

ces nombres sont les nbs de Mersenne. :oops:

bref!

construction de polygones réguliers à n côtés.

On a le résultat suivant:

Un polygone régulier à p côtés (p premier) est constructible à la règle et au compas si p est un nb premier de Fermat.

Et:

Un polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas si phi(n) est une puissance de 2.

phi étant l'indicateur d'Euler.

(c'est le nb d'entiers qui sont inférieurs et premiers avec n)

remarque: si p premier alors phi(p)=p-1.

donc si Fn est premier, phi(Fn)=2^(2^m) ok

exemple: phi(9)=6 qui n'est pas une puissance de 2, donc pas de contruction possible du polygone à 9 côtés. :|

par contre phi(17)=16=2^4, construction possible (donnée par Gauss à l'age de 16 ans je crois. no comment! )

On peut démontrer qu'un point P(x,y) du plan est constructible à la règle et au compas si ses coordonnées vérifient au plus une équation quadratique (deg 2). (on parle de nb euclidien)

par exemple, trisecter un angle se ramène à résoudre une équation de degré 3 : impossible donc d'y arriver.

(il existe cependant des moyens approximatifs pour le faire)

résumé: si un nombre est solution d'une équation algébrique alors ce nombre est constructible (RC) si le degré de l'équation est inf ou égale à 2. Au delà, on n'y pense même pas!

exemple: sqrt(2) est algébrique: solution de x²-2=0 (constructible RC) 8-)

2^(1/3) aussi : solution de x^3-2=0 (pas constructible) :cry:

Quant à carrer le cercle c'est peine perdue puisque pi n'est même pas algébrique...il est transcendant. :roll:

(il n'esixte pas de polynôme P à coef dans Q tel que P(pi)=0)

voila!

[philippe]

j'ai oublié:

si a^n+1 est premier alors a est pair et n est une puissance de 2.

[Max Zorin]

Merci beaucoup pour ces explications ! c'est bien aimable

Au plaisir

M. Zorin