Exercice Fonction Et Sens De Variation

[julien59]

salut a tous voila j'ai cette exercice a faire mais je ne suis pas sur de ce que j'ai fait et je bloque pour la fin : j'espere que vous pourrez m'aider.

je vous met un scan et mes reponses :

1) on a lim f(x) = lim x^4 = +

x-->-inf

lim f(x) = lim x^4 = +

x-->+inf

car fonction polynome

2)a) on a f'(x) = 4x^3 -2x = x( 4x² -2)

4x² - 2 = 0 pour x = - (1/2) ou pour x= (1/2)

x=0

donc on a le tableau de variation suivant :

x ------------inf-------------(- (1/2))----------0-------------- (1/2)---------+inf

4x² -2 ________positif_____0_____negatif_____negatif_____0____positif

x_______________negatif_______________0 ___positif_____________

f'(x)--------------negatif_____0___positif____0___negatif_____0___positif

f(x)_______ décroissante_______croissante_____decroissante____croissante

B) f(- (1/2)) = 0.75

f(0) = 1

f( (1/2)) = 0.75

la courbe admet une tangeante horizontale pour les points de coordonnées 0.75 et 1.

c) f(x) est minimal pour x = - (1/2) et x= (1/2)

pour la suite je bloque, pouvez vous m'aider pour finir et bien m'expliquer pour le graphique, si j'ai bien compris on a 1unités = 4cm ?

merci d'avance.

[elp]

3)

il y a 3 pts où les tgtes sont // à x'x

P1(-rac(1/2),3/4)

P2(0,1)

P3(rac(1/2),3/4)

pour la symétrie

compare f(x) et f(-x)

pour tout x de R

f(-x)=(-x)^4-(-x)²+1=x^4-x²+1 car (-x)^4=(x)^4 et (-x)²=x² (exposants pairs)

on a dc toujours f(-x)=f(x) dc sym / y'y

Unité 4cm

le point I(1,0) est à 4 cm de l'origine O

idem pour J(0,1)

[julien59]

merci elp.

[julien59]

j'ai encore un probléme l'exercice est dividé en 2 parties et je bloque aussi pour la partie 2. je vous la scan en esperant que vous pourrez m'aider.

merci d'avance.

[elp]

y=x² est l'équation de la parabole

soit M(x,y) un pt quelconque de cette parabole

on a y=x² dc M(x,x²)

A(0,1)

vecteur AM(x-0,x²-1)

AM²=(x-0)²+(x²-1)²=x²+x^4-2x²+1=x^4-x²+1

il faut étudier les variations de f tq f(x)=x^4-x²+1 pour trouver les minima de AM² (ce qui donnera ceux de AM)

( tu retrouves f du 1er exo )

[julien59]

merci elp je vais regarder tous cela et je te dirai quoi ce soir, merci

[elp]

ds le 1) tu as déjà trouvé les valeurs de x qui rendent f(x) min dc tu as les valeurs de x qui font que AM est min

tu as les abscisses des M de la parabole qui sont les + proches de A (et les ordonnées sont le carré des abscisses car y=x² est l'équat de la parabole)

[julien59]

je compris elp a part le passage de vecteur AM(x-0,x²-1) à AM²=(x-0)²+(x²-1)²=x²+x^4-2x²+1=x^4-x²+1

je comprend ce que tu fait mais tu a le droit de passer du vecteur a son carré ?

ensuite il faut étudier les minimum de f(x)=x^4-x²+1 qu'on a fait au grand 1 avec x = - (1/2) et x= (1/2).

comment faire pour la distance et les coordonées ? car la j'ai les minimum de AM² donc est ce que les minimum de AM sont les racines carées des minimum de AM²

merci

[elp]

AM est un nombre positif

les nombres positifs sont rangés comme leurs carrés

si AM² est min alors AM aussi (dc on utilise le 1)

Si V(x,y) est un vecteur de coordonnées x et y alors la norme de ce vecteur (en quelque sorte sa longueur) est rac(x²+y²)

si AM(x,y) alors la distance de A à M est rac(x²+y²) dc la distance au carré est x²+y² dc ds notre cas: x²+(x²-1)²

[julien59]

merci elp j'ai compris pour la longueur minimale de AM.

pour la distance minimale entre un point de la parabole P et le point A tu pars de la longueur entre A et M qui et (x² +(x²-1)²) et comme M et sur P on peut dire que la longueur minimale entre A et un point de cette parabole et le ² de cette longueur car la parabole a pour équation y= x². est ce cela ? donc la longueur minimale est x²+(x²-1)² aprés cela c'est finit ?

merci.

[elp]

x²+(x²-1)² est AM²

qd tu connais le min de AM², tu connais le min de AM

les min de AM² s'obtiennent pour x=-rac(1/2) et x=rac(1/2) (d'après le 1)

tu dois calculer AM² ( dc :x^4-x²+1)pour ces 2 valeurs de x puis tu prends la racine carrée pour trouver les min de AM

[julien59]

merci elp j'ai donc trouvé que AM est minimal lorsque M aura pour coordonnées (-rac(1/2),rac(3/4)) et (rac(1/2),rac(3/4)).

ensuite pour trouver quelle est la distance minimale entre un point de la parabole P et le point A il faut dire qu'elle est minimale lorsque x^4-x²+1 est minimale ??

merci pour toute ton aide.

[elp]

x²+(x²-1)² est AM²

qd tu connais le min de AM², tu connais le min de AM

les min de AM² s'obtiennent pour x=-rac(1/2) et x=rac(1/2) (d'après le 1)

tu dois calculer AM² ( dc :x^4-x²+1)pour ces 2 valeurs de x puis tu prends la racine carrée pour trouver les min de AM

[julien59]

merci elp, je suis embrouiller avec la 2éme partie donc je vais recapituler pour voir si cela est bon :

1) montrer que AM² = x^4 - x² + 1

pour cela j'ai tous bien compris et bien rédiger.

2) expliquer clairement que l'étude des variations de la fonction f dans la partie 1 de cet exercice permet de déterminer les positions de M sur la parabole P pour lesquelles la longueur AM est minimale. donner ces positions en indiquant les coordonnées des points M correspondants. Quelle est la distance minimale entre un points M de la parabole P et le point A ?

pour expliquer clairement que l'étude des variations de la fonction f dans la partie 1 de cet exercice permet de déterminer les positions de M sur la parabole P pour lesquelles la longueur AM est minimale la sa va.

pour donner ces positions en indiquant les coordonnées des points M correspondants :

j'ai calculer x^4-x²+1 pour x =-rac(1/2) et x=rac(1/2) ( minimum de AM²) et j'ai trouver :

x^4-x²+1 pour x =-rac(1/2) == 3/4=AM² donc AM = rac(3/4) = rac(3)/2.

x^4-x²+1 pour x =rac(1/2) == 3/4=AM² donc AM = rac(3/4) = rac(3)/2.

les coordonnées des points M pour lesquelles AM est minimale sont donc (-rac(1/2);rac(3)/2) et (rac(1/2);rac(3)/2).

Quelle est la distance minimale entre un points M de la parabole P et le point A ?

M étant un point de la parabole P alors la distance minimale entre un points M de la parabole P et le point A est la distance minimale entre A et M.

d'aprés la question precedentes il y a deux positions de M pour lesquelles AM est minimale est pour ces deux positions AM = rac(3)/2.

voila est ce que cela est bon ? s'il me manque quelque explications merci de le dire.

merci d'avance pour vos réponses.

[elp]

si M a pour abscisse x=rac(1/2) alors son ordonnée est x² donc 1/2

idem pour x=-rac(1/2)

ne confonds pas l'ordonnée du point M et la distance AM

la distance AM la plus petite est rac(3)/2

cette distance est pour les pts M de la parabole d'abscisse rac(1/2) ou -rac(1/2) et d'ordonnée 1/2

les 2 pts st sym /y'y

[julien59]

ah d'accord, j'ai compris,merci de ton aide.