[spe] Equation Diophantienne

[Mattspider]

Voilà j'ai un exercice dans lequelle j'ai résolu une équation diophantienne qui est 8x+5y=1

je trouve x=-5k+2 et y=8k-3 seulement un peu plus dans l'exercice, il m'est demandé de résoudre 8x+5y=100

alors dois-je refaire tous le processus de résolution d'équation diophantienne ou est-ce que ya une petite astuce ? parce que multiplier les solutions par 100 est faux :'(

merci d'avance

[Mattspider]

Bon alors je me suis rendu compte qu'il manquait quelque renseignements peut être........

en fait 'exo c'est ça :

I Résoudre (E) : 8x+5y=1 (ça j'ai fait)

{ x=-5k+2

{ y=8k-3

II- SOit N entier naturel tel qu'il existe un couple (a;b) d'entiers relatifs vérifiant :

{ N= 8a+1

{ N= 5b+2

a) Montrer que le couple ( a;-b ) est solution de (E) ( ça j'ai fait )

b ) Quel est le reste de la division de N par 40 ?

Là je trouve N congru à 17 [40]

III- a) Résoudre 8x+5y=100 avec (x;y) un couple d'entiers relatifs. Et c'est là que je comprend pas l'astuce par rapport au début de l'exo.........a moins que le début ne servent dans le problème qui est le suivant :

b ) AU VIII siècle, un groupe composé d'homme est de femmes a dépensé 100 pièces d'or dans un hotel. Les hommes ont dépensés 8 pièces d'or chacun et les femmes 5 pièces chacunes. Combien pouvait t-il ya avoir d'hommes et de femmes dans le groupe ?

Mais j'arrive pas à voir le lien avec N......

MErci d'avance

[elp]

en utilisant le 1)

8*(-3)+5*5=-24+25=1 donc

8*(-300)+5*(500)=100 donc

8*(+300)+5*(-500)=-100

8*x +5*y = 100

on ajoute membre à membre

8*(x+300)+5*(y-500)=0

8*(x+300)=5*(500-y)

5 ne divise pas 8 donc divise x+300

on en déduit que x=5k-300 et y=500-8k

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pour le pb des pièces d'or

x>0 et y>0 dc k>60 et k<62.5 dc k=61 ou 62

k=61----> x=5 et y=12 (5 hommes et 12 femmes)

k=62-----> x=10 et y=4